Производная Помни слова великого ученого: «Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит.» М.В.Ломоносов. Определение. Правила и формулы дифференцирования. 11 класс.

1. Выражение вида f появилось уже в конце 17 в. и означает «приращение». 2. Термин производная ввел в 1797г. Ж. Лагранж 3.И. Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму функцию – флюентой. 4.Раздел математики, в котором изучаются производные и их применения к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением. 5.Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия. Историческая страничка гг гг гг.

Приращение аргумента, приращение функции. Пусть х – произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х 0. Разность х-х 0 называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке х 0 и обозначается х. х = х – х 0 – приращение независимой переменной Приращением функции f в точке x 0 называется разность между значениями функции в произвольной точке и значением функции в фиксированной точке. f(х) – f(х 0 )=f(х 0 +х) – f(х 0 ) – приращение функции f f=f(х 0 +х) – f(х 0 )

Определение производной. Отношение приращения функции к приращению аргумента называется разностным отношением Производной функции f в точке х 0 называется число к которому стремиться разностное отношение: при х 0. Задача. Найти производную функции f(x)=x 2, используя определение. Решение. 1) f(x 0 )=x значение функции в фиксированной точке. f(x 0 +x)=(x 0 +x) 2 -значение функции в произвольной точке. 2) Найдём приращение функции: f=f(x 0 +x)-f(x 0 )=(x 0 +x) 2 -x 0 2 =x x 0 x+x 2 -x 0 2 =2x 0 x+x 2. 3)Найдем разностное отношение: 4)При x 0 2х 0 +х 2х 0, значит (х 0 2 )'=2х 0. 5)Для любого х: (х 2 )'=2х.

Основные формулы дифференцирования. 1)(x n )'=nx n-1 – производная степенной функции Частные случаи: 2)(kx+b)'=k-производная линейной функции 3)с'=0-производная постоянной 4)Производные тригонометрических функций: a)(sinx)'=cosx b)(cosx)'=-sinx c)(tgx)'=1/cos 2 x d)(ctgx)'=-1/sin 2 x

Основные правила дифференцирования Если функции u и v дифференцируемы в точке х 0, то справедливы следующие правила: 1)(u+v)'=u'+v' 2)(uv)'=u'v+uv' 3)(cu)'=cu' 4)(u/v)'=u'v-uv'/v 2,v не равно нул'ю 5) h' (x 0 )=g' (f(x 0 ))f '(x 0 )

Геометрический смысл производной Геометрический смысл производной со- стоит в том, что производная в точке х 0 равна угловому коэффициенту касательной в точке х 0 и тангенсу угла наклона касатель- ной k=tgα=y/x

Механический смысл производной Механический смысл производной состо- ит в том, что производная пути по време- ни равна мгновенной скорости в момент времени t 0 : S'(t 0 )=V(t 0 ).

Образцы решения задач. Решая примеры, проговаривай вслух. Помни: «Мысль рождается с собственной речи!»

Продифференцируй функцию: 1)f(x)=4/(9+7x) 5 2)g(x)=x 2 sin2x 3)y=1/cos2x 4)u(x)=x 2 /x 3 -1 Найди угловой коэффициент касательной к графику функции у=15х+cosx в точке с абсциссой х 0 =-. Найди точки, в которых f(x)=0, f(x)'>0,если f(x)=2x+cos(4x- ). Задай формулой хотя бы одну функцию, производная которой равна: а) 4x+5 б) 6x 2 -sinx Проверь свои знания!

Подготовься к ЕГЭ. Найди производную функций: у=(7х+3) 3 у=х 2 /х+3 у=3х 4 +sinx+5 y= tgx+3sin2x Найди тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции у=-4/х в точке с абсциссой равной -3. Найди значение производной функции у=хcosх в точке х 0 =π. Решить уравнение f'(x)=0,если f(x)=x 3 -2x 2

Желаем успехов в изучении математики!