Иррациональные числа «Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты и жара сконцентрированной в них мысли.» А.Александров.

2 Содержание урока Повторение История появления иррациональных чисел Определение иррационального числа Классификация действительных чисел (круги Эйлера) Примеры

3 ПОВТОРЕНИЕ Тест Составьте слово из букв, обозначающих верные ответы. 1. Какое из чисел 5; -4; 0; являются натуральным? А) -4; Б) 0; В) 5; Г). 2)Какое из чисел -3,5; -100; ; -0,01 является целым? Д) -3,5; Е) -100; Ж) ; З) -0,01. 3)Какое из выражений верно? Н) Z N; О)Q Z; П)Q N; Р)Z Q. 4)Чему равен период дроби К)2; Л) 25; М) 254; Н) Чему равен период дроби 2,273273…? М) 2; Н) 732; О) 273; П) ОТВЕТ:

4 История появления иррациональных чисел Иррациональность. Первоначально ооткрытие иррациональных чисел связано с сооткрытием несоизмеримости диагонали квадрата, с его стороной. Одни приписывают данное открытие Пифагору, другие некоторым другим пифагорейцам 5 в.д.н.э. Современное доказательство иррациональности 2 есть уже у Аристотеля. Доказательство иррациональности 3, 5 …17 принадлежит Теодору из Нирены. Общее учение об иррациональности создал Теэтет (ученик Теодора). Возможно и терминология в теории иррациональности введена Теодором. Целое рациональное число называлось ariumoz; отношение отрезков, т.е. любое действительное число, logoz. Греческое слово alogioz не имеющее отношение, таким образом относилось не к иррациональному числу, а тем величинам, отношение которых выражалось иррациональным числом. Современный термин появился как буквальный перевод греческого и образован из латинского in (ir)- отрицание и ratio- отношение. Термин ввел Штифель. До этого иррациональные числа называли глухими, безгласными- surdi.

5 Иррациональные числа Иррациональные числа в отличие от рациональных не могут быть представлены в виде обыкновенной несократимой дроби вида: m / n, где m и n – целые числа. Это числа нового типа, которые могут быть вычислены с любой точностью, но не могут быть заменены рациональным числом. Они могут появиться как результат геометрических измерений, например: - отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны равно, - отношение длины окружности к длине её диаметра равно иррациональному числу Примеры других иррациональных чисел:

6 Иррациональные числа Для измерения используются не только рациональные числа, но и числа иной природы, т.е. не являющиеся целыми или дробными. Все такие числа называются иррациональными. Например, длина диагонали квадрата со стороной 1 (рис.1, a) должна выражаться некоторым положительным числом r, таким, что r^2=1^2+1^2 (по теореме Пифагора), т.е. таким, что r^2=2. Число r не может быть целым, т.к. 1^2=1; 2^2=4; 3^2=9 и т.д. Число r может быть и дробным: если r=m/n – несократимая дробь, где n не равно 1, то r^2=m^2/n^2 тоже будет несократимой дробью, где n^2 не равно 1; значит, m^2/n^2 не является целым числом, а потому не может равняться 2. Поэтому длина диагонали квадрата выражается иррациональным числом, которое обозначается 2^0.5 (читается: Квадратный корень из 2). На рисунке 1, б изображена координатная прямая p, OABJ – квадрат, OC=OB=OD. Тогда координатной точке C является число 2^0.5, а координатной точки D – число - 2^0.5. Обе точки C и D имеют иррациональные координаты. Аналогично не существует рационального числа, квадрат которого равен 5, 7, 10. Соответствующие иррациональные числа обозначаются 5^0.5, 7^0.5, 10^0.5. Противоположные им числа также иррациональны, они обозначаются -5^0.5, -7^0.5, -10^0.5. Следует подчеркнуть, что к иррациональным числам приводит не только задача отыскания числа, квадрат которого равен заданному положительному числу. Например, число пи, выражающее отношение длины окружности к диаметру, нельзя представить в виде обыкновенной дроби – это иррациональное число. Так как любое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби и в свою очередь любая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет собой рациональное число, то каждое иррациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной непериодической дроби и в свою очередь любая бесконечная десятичная непериодическая дробь есть иррациональное число.

7 Круги Эйлера Круги Эйлера.

8 «Книга – книгой, а мозгами двигай!» Среди чисел 1/7; 0; 1,25; -2,(3); 0, ,2(51); 217; π укажите рациональные и иррациональные ПРИМЕР 1.

9 ПРИМЕР2. Верно ли, что: Каждое рациональное число является действительным; Каждое действительное число является рациональным; Каждое иррациональное число является действительным; Каждое действительное число является иррациональным.

10 Домашнее задание: §4 п ,276 стр.64.