Презентация Комовой Марии 10Б Учитель: Сычева Г.В.

Пусть точки А 1, В 1, С 1 лежат соответственно на сторонах ВС, АС, ВА треугольника АВС. Для того чтобы отрезки АА 1, ВВ 1, СС 1 пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение ТЕОРЕМА ЧЕВЫ

Доказательство. Необходимость. Пусть отрезки АА 1, ВВ 1, СС 1 пересекаются в точке М внутри треугольника АВС.Обозначим через S 1, S 2, S 3 площади треугольников АМС, СМВ, АМВ, а через h 1, h 2 -расстояния соответственно от точек А и В до прямой МС. M

А В С В1В1 С1С1 M A1A1 B0B0 A0A0 h1h1 h2h2

А В С В1В1 С1С1 M A1A1 B0B0 A0A0 h1h1 h2h2 аналогично Перемножив полученные пропорции, убеждаемся в справедливости равенства

Докажем, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))

Рассмотрим треугольник ABC. Обозначим BC=a, AC=b, AB=a. Пусть A', B', C' – точки касания вневписанных окружностей треугольника со сторонами BC, AC, AB соответственно, K – точка касания первой из этих окружностей с продолжением стороны AB, p – полупериметр треугольника. Тогда

BA'=BK = AK - AB = p-c. Аналогично A'C=p-b, CB'=p-a, B'A = p-c, AC'=p-b, C'B=p-a.

Следовательно, по теореме Чевы отрезки AA', BB' и CC' пересекаются в одной точке.