Алгебра та початки аналізу 11 клас Тема : Елементи комбінаторики

Поняття множини. Множина- одне з понять, що не мають точного означення. Множина- це сукупність, зібрання деяких предметів або обєктів, обєднаних за певною характеристичною ознакою. Підмножина – це, якщо кожен елемент множини А міститься у множині В, то кажуть: множина А є підмножиною В. Елементи множини – це предмети, з яких складається множина, позначаються малими літерами латинського алфавіту. Порожня множина – це множина, в якій немає жодного елемента. Позначається символом Ø. Множину задають такими основними способами : 1) переліком всіх її елементів; 2) описом характеристичної властивості її елементів. Дві множини називаються рівними, якщо вони складаються з тих самих елементів.

Множина натуральних чисел (N) Множина цілих чисел ( Z ) Множина раціональних чисел (Q ) Множина дійсних чисел (R ) Множина натуральних чисел є підмножиною множини цілих чисел, яка, в свою чергу, є підмножиною раціональних чисел. А множина раціональних чисел є підмножиною дійсних чисел. Множина дійсних чисел - це обєднання всіх даних множин. Об'єднання множин

Перерізом множин А і В називається множина С, яка складається з усіх тих і лише тих елементів, які належать кожній з даних множин А і В. Перерізом множин А і В називається множина С, яка складається з усіх тих і лише тих елементів, які належать кожній з даних множин А і В. Приклад 1. А – множина всіх дільників числа 32, тобто Приклад 1. А – множина всіх дільників числа 32, тобто А = { 1,2,4,8,16,32 }, В – множина всіх дільників числа 24, тобто В={1,2,3,4,6,8,12,24}. Тоді перерізом множин А і В є множина С = { 1,2,4,8} А = { 1,2,4,8,16,32 }, В – множина всіх дільників числа 24, тобто В={1,2,3,4,6,8,12,24}. Тоді перерізом множин А і В є множина С = { 1,2,4,8} Переріз множин Об єднання множин Обєднанням множин ( або сумою ) А і В називається така множина С, яка складається з усіх елементів множин А і В, і лише з них. Позначається С = А U В Приклад 2. А ={ 1,2,3,4}, В = { 3,4,5,6}, тоді С={1,2,3,4,5,6} Віднімання множин Різницею двох множин А і В називається така множина С, яка складається з усіх елементів множини А, які не належать множині В. Позначається С= А\ В. Приклад 3. А={5,6,8,12}, В={8,12,1,2}, тоді С=А\ В={5,6}.

Розділ математики, в якому вивчаються методи розв язування комбінаторних задач, називається комбінаторикою. Комбінаторні задачі – це задачі, в яких потрібно шукати кількість способів виконання того, що вимагається. Перестановки Види розвязків комбінаторних задач Перестановка – це будь-яка впорядкована (скінчена, з певним порядком елементів) множина, яка складається з n елементів. Позначається Pn. Pn=1×2×3×…× n ! (n- факторіал) Розміщення Розміщення – це будь – яка впорядкована підмножина з елементів даної множини, яка містить n елементів, де m<=n. Позначається А. А =n×(n-1)×(n-2)×...×(n- m+1). Комбінація Комбінація – це будь-яка підмножина з m елементів даної множини, яка містить n елементів. Позначається С. С = n !/ m ! ( n – m ) !

С ПерерізПереріз Переріз множин Множина F- є множиною перерізу даних множин. F

Елементи теорії ймовірностей

Первісним поняттям, яким користується людина, вивчаючи навколишній світ, є поняття події. Первісним поняттям, яким користується людина, вивчаючи навколишній світ, є поняття події. Випадкова подія – це подія, яка в одних і тих же умовах може відбутися або не відбутися. Випадкова подія – це подія, яка в одних і тих же умовах може відбутися або не відбутися. Вірогідна подія – це подія, яка відбудеться обовязково. Вірогідна подія – це подія, яка відбудеться обовязково. Неможлива подія – це подія, яка ніколи не відбудеться. Неможлива подія – це подія, яка ніколи не відбудеться. Рівноймовірна подія – це подія, коли порівну може відбутися дві або декілька різних подій. Рівноймовірна подія – це подія, коли порівну може відбутися дві або декілька різних подій. Імовірність – це числова характеристика ( міра) можливості появи випадкової події за певної умови, яку можна відтворити необмежену кількість разів. Імовірність – це числова характеристика ( міра) можливості появи випадкової події за певної умови, яку можна відтворити необмежену кількість разів. Масові події – це однорідні події, що спостерігаються за певних умов, які можуть бути відтворені необмежену кількість разів. Масовими вважаються і ті події, для яких відповідні випробування не можна відтворити, але є можливість спостерігати аналогічні випробування у великій кількості. Наприклад, виклик телефонної станції абонентами, радіоактивний розпад атомів хімічного елемента. Теорія імовірностей – математична наука, яка вивчає закономірності масових випадкових подій, що можуть багаторазово повторюватися за поновлення певної сукупності умов. Теорія ймовірності

Події Неможлива подія Вірогідна подія Випадкова подія Рівноймовірна подія

Приклад 1 У кошику є 3 червоних і 3 зелених яблука. Не зазираючи у кошик, навмання беруть з нього одне яблуко. Яка з подій може відбутися: А -« взяли червоне яблуко»; В-«взяли жовте яблуко»; С -«взяли зелене яблуко»; Д - «взяли яблуко»? У кошику є 3 червоних і 3 зелених яблука. Не зазираючи у кошик, навмання беруть з нього одне яблуко. Яка з подій може відбутися: А -« взяли червоне яблуко»; В-«взяли жовте яблуко»; С -«взяли зелене яблуко»; Д - «взяли яблуко»? Спробуйте самі дати відповідь на запитання. Спробуйте самі дати відповідь на запитання.

Відповідь до задачі: Подія В «взяли жовте яблуко» за даних умов неможлива. Подія В «взяли жовте яблуко» за даних умов неможлива. Подія Д «взяли яблуко» відбудеться обовязково. Подія є вірогідною. Подія Д «взяли яблуко» відбудеться обовязково. Подія є вірогідною. Події А і С є випадковими, бо взяте яблуко може бути як червоним, так і зеленим. Оскільки червоних і зелених порівну, то ці випадкові події є рівноймовірними. Події А і С є випадковими, бо взяте яблуко може бути як червоним, так і зеленим. Оскільки червоних і зелених порівну, то ці випадкові події є рівноймовірними.

Класичне означення імовірності Імовірністю випадкової події називається відношення кількості елементарних подій, які сприяють цій події, до кількості всіх однаково можливих несумісних подій, які утворюють повну групу під час певного випробування. Імовірністю випадкової події називається відношення кількості елементарних подій, які сприяють цій події, до кількості всіх однаково можливих несумісних подій, які утворюють повну групу під час певного випробування. Імовірність позначають P(A)=m / n, де n- загальна кількість однаково можливих і несумісних подій, які утворюють повну групу; m- число елементарних подій, які сприяють події А. Імовірність позначають P(A)=m / n, де n- загальна кількість однаково можливих і несумісних подій, які утворюють повну групу; m- число елементарних подій, які сприяють події А.

Символ Р(А) походить від латинського слова «probabilitas», що означає імовірність. Символ Р(А) походить від латинського слова «probabilitas», що означає імовірність. Імовірність вірогідної події В, за можливістю її появи, природно прийняти за 1, тобто Імовірність вірогідної події В, за можливістю її появи, природно прийняти за 1, тобто Р(В) =m / n=1, бо для вірогідної події m=n. Р(В) =m / n=1, бо для вірогідної події m=n. Для неможливих подій число m=0, то імовірність неможливої події А дорівнює 0, тобто P(A)=m /n =0/n=0. Для неможливих подій число m=0, то імовірність неможливої події А дорівнює 0, тобто P(A)=m /n =0/n=0. Якщо С – випадкова подія, то імовірність її задовольняє нерівність 0<P(C)<1. Якщо С – випадкова подія, то імовірність її задовольняє нерівність 0<P(C)<1. Імовірність будь – якої події D задовольняє умову 0<=P(D)<=1. Імовірність будь – якої події D задовольняє умову 0<=P(D)<=1.

Задачі на імовірність Задача 1.З ящика, в якому міститься 4 білих, 3 чорних і 7 червоних куль, виймають одну кулю. Яка імовірність того, що вона буде білою або чорною? Задача 1.З ящика, в якому міститься 4 білих, 3 чорних і 7 червоних куль, виймають одну кулю. Яка імовірність того, що вона буде білою або чорною? Розвязання. Нехай А – подія, що полягає в появі білої або чорної кулі. У цій задачі всього куль ( випадків ) n=14, а подій, які сприяють події А, m=7. Отже, імовірність події А дорівнює P(A)=7/14=1/2. Розвязання. Нехай А – подія, що полягає в появі білої або чорної кулі. У цій задачі всього куль ( випадків ) n=14, а подій, які сприяють події А, m=7. Отже, імовірність події А дорівнює P(A)=7/14=1/2. Задача 2. Яка імовірність того, що при одному киданні грального кубика випаде число очок, що ділиться на 3 ? Задача 2. Яка імовірність того, що при одному киданні грального кубика випаде число очок, що ділиться на 3 ? Розв язання. Нехай А – подія, яка полягає в тому, що випаде число очок, кратне 3. Всього може бути n=6 випадків. З них два сприяють події А ( коли випаде 3 і 6 очок ). Отже, P(A)=2/6=1/3. Розв язання. Нехай А – подія, яка полягає в тому, що випаде число очок, кратне 3. Всього може бути n=6 випадків. З них два сприяють події А ( коли випаде 3 і 6 очок ). Отже, P(A)=2/6=1/3.

Додавання імовірностей несумісних подій Теорема. Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі імовірностей цих подій, тобто P(A+B)=P(A)+P(B). Задача. В коробці лежать 4 чорних, 7 червоних, 9 зелених і 11 синіх кульок. З коробки вийняли одну кульку. Визначити ймовірність того, що вийнята кулька буде не чорною. Розв'язання. Нехай подія А – поява не чорної кульки, A° ­ поява чорної, A ¹ - поява червоної, A ² - поява зеленої, A ³ - поява синьої кульки. Тоді подію А можна виразити як суму несумісних подій A ¹,A ²,A ³, тобто А=A ¹ +A ² +A ³. За теоремою додавання, дістанемо P(A)=P(A ¹ )+P(A ² )+P(A ³ ), або P(A)=7/31+9/31+11/31=27/31. Наслідки теореми. Сума ймовірностей несумісних подій, що утворюють повну групу, дорівнює 1. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1. Дві події називаються протилежними, якщо одна і лише одна з них обов'язково здійсниться в даному випробуванні. Принцип практичної неможливості: якщо випадкова подія має дуже малу імовірність. То можна вважати, що в одиничному випробуванні ця подія не відбудеться.

Умовна ймовірність. Множення ймовірностей. Добутком двох подій А і В називається подія С, що полягає у здійсненні під час одиничного випробування і події А, і події B. C=A×B Добутком двох подій А і В називається подія С, що полягає у здійсненні під час одиничного випробування і події А, і події B. C=A×B Умовною ймовірністю Pb(A) називають імовірність події А, обчисленої в припущенні, що подія В вже відбулась. Умовною ймовірністю Pb(A) називають імовірність події А, обчисленої в припущенні, що подія В вже відбулась. Pa (B)=P(AB)/P(A),P(A)>0 Pa (B)=P(AB)/P(A),P(A)>0 Теорема. Імовірність сумісної появи двох подій дорівнює добутку імовірностей однієї з них на умовну імовірність другої, яка обчислена у припущенні, що перша подія вже відбулась: Теорема. Імовірність сумісної появи двох подій дорівнює добутку імовірностей однієї з них на умовну імовірність другої, яка обчислена у припущенні, що перша подія вже відбулась: P(AB)=P(A)× Pa (B). P(AB)=P(A)× Pa (B). Задача. На заводі виробляється1% бракованих деталей. Серед якісних деталей 60% деталей вищого гатунку. Яка ймовірність того, що взята навмання деталь вищого гатунку? Задача. На заводі виробляється1% бракованих деталей. Серед якісних деталей 60% деталей вищого гатунку. Яка ймовірність того, що взята навмання деталь вищого гатунку? Розв'язання. Нехай подія А – деталь не бракована, а подія В – деталь вищого гатунку. Тоді P(A)=99/100=0,99; P(B)=60/100=06. Отже, P(AB)=P(A)×P(B)=0,99×0,6=0,594. Розв'язання. Нехай подія А – деталь не бракована, а подія В – деталь вищого гатунку. Тоді P(A)=99/100=0,99; P(B)=60/100=06. Отже, P(AB)=P(A)×P(B)=0,99×0,6=0,594.

Незалежні події Подія В називається незалежною від події А, якщо поява події А не змінює імовірності події В. Подія В називається незалежною від події А, якщо поява події А не змінює імовірності події В. Теорема. Ймовірність сумісної появи двох незалежних подій дорівнює добутку імовірностей цих подій:P=(AB)=P(A)×P(B) Теорема. Ймовірність сумісної появи двох незалежних подій дорівнює добутку імовірностей цих подій:P=(AB)=P(A)×P(B) Дві події називаються незалежними, якщо ймовірність їх суміщення (добутку) дорівнює добутку імовірностей цих подій. У протилежному випадку події називаються залежними. Дві події називаються незалежними, якщо ймовірність їх суміщення (добутку) дорівнює добутку імовірностей цих подій. У протилежному випадку події називаються залежними. Наслідок. Ймовірність сумісної появи кількох подій, незалежних у сукупності, дорівнює добутку ймовірностей цих подій: Наслідок. Ймовірність сумісної появи кількох подій, незалежних у сукупності, дорівнює добутку ймовірностей цих подій: P(A¹A²…An)=P(A¹)P(A²)…P( An) P(A¹A²…An)=P(A¹)P(A²)…P( An) Дві події називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появи другої в одному і тому самому випробуванні. Дві події називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появи другої в одному і тому самому випробуванні. Теорема. Імовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі імовірностей цих подій без імовірності їх сумісної появи:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). Теорема. Імовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі імовірностей цих подій без імовірності їх сумісної появи:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). Задача. Ймовірності влучення в ціль першою і другою гарматою відповідно дорівнюють Р=0,7 і Р=0,8. Знайти ймовірність влучення при одному залпі хоча однією гарматою. Задача. Ймовірності влучення в ціль першою і другою гарматою відповідно дорівнюють Р=0,7 і Р=0,8. Знайти ймовірність влучення при одному залпі хоча однією гарматою. Розв'язання. Ймовірність події АВ ( обидві гармати влучили) P(AB)=P(A)P(B)=0,7×0,8=0,56. Шукана ймовірність:P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)=0,7+0,8-0,56=0,94. Розв'язання. Ймовірність події АВ ( обидві гармати влучили) P(AB)=P(A)P(B)=0,7×0,8=0,56. Шукана ймовірність:P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)=0,7+0,8-0,56=0,94.

Два основні правила ймовірності Правило додавання P(A або B) Події А і В – сумісні? P(A або B)= =P(A)+P(B) P(A або B)=P(A)+ +P(B)-P(AB) Правило множення P(A і B) Події А і В– залежні? P(A і B)=P(A)×P(B) P(A і B)= P(A)×Pa(B) Ні Так Ні Так

Задача У першому ящику міститься 5 білих кульок, 11 чорних і 8 зелених, а в другому – 10 білих, 8 – чорних і 6 зелених. Навмання беруть по одній кульці з кожного ящика. Яка ймовірність того, що вони одного кольору? Розв'язання. Нехай подія А полягає в тому, що обидві кульки одного кольору;події Вn- з n- го ящика взято білу кульку; події Сn – з n- го ящика взято чорну кульку; події Dn- з n- го ящика взято зелену кульку(n=1,2). Тоді А=B ¹ B ² +C ¹ C ² +D ¹ D ². Оскільки виконуються умови про ймовірність додавання несумісних подій та ймовірність добутку незалежних подій, то дістаємо, що P(A)=P(B ¹ )P(B ² )+PC ¹ )P(C ² )+P(D ¹ )P(D ² )=(5/24×10/24)+(1 1/24×8/24)+(8/24×6/24)=186/576=31/96.

Спробуйте розв'язати такі задачі: 1.На полиці розміщено 10 підручників, 15 томів з художніми творами і 3 довідники. Учень бере одну книжку. Яка ймовірність того, що ця книжка: а) є підручником; б) не є підручником? 2.У лотереї є 1000 білетів, з них 10 виграшні. Яка ймовірність того, що куплений білет буде виграшним? 3.Куб, усі грані якого пофарбовано, розрізали на 27 рівних кубиків. Знайдіть ймовірність того, що взятий навмання кубик має: а) 3 пофарбовані грані; б) 2 пофарбовані грані; в) 1 пофарбовану грань; г) 0 пофарбованих граней.