Проектная работа

Цели и задачи проекта Показать значение теоремы Пифагора в развитие науки и техники. Помочь начинающему учителю в простой и интересной форме преподать содержание теоремы.

Вопросы проекта «Золотые стихи» Пифагора «Пифагоровы штаны» Страницы жизни Доказательства, основанные на использовании понятия равно великости фигур Алгебраический метод доказательства Доказательство Евклида Геометрическое доказательство Применение теоремы Значение теоремы

По следам Пифагора Пребудет вечной истина, как скоро Ее познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век. Обильно было жертвоприношенье Богам от Пифагора. Сто быков Он отдал на закланье и сожженье За света луч, пришедший с облаков. Поэтому всегда с тех самых пор, Чуть истина рождается на свет, Быки ревут, ее почуяв след. Они не в силах свету помешать, А могут лишь, закрыв глаза, дрожать От страха, что вселил в них ПИФАГОР. А. Шамисс

Этот рассказ о жертвоприношении, сообщаемый Диогеном, Лаэртом и Плутархом, конечно вымышлен. А поэтому, увы, лишено основания и то насмешливое замечание о переселении душ, которое встречается у Генриха Гейне: "Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принёс в жертву бессмертным богам. Доказательство теоремы считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось "ослиным мостом" или "бегством убогих", а сама теорема - "ветряной мельницей" или "теоремой невест". Учащиеся даже рисовали карикатуры и составляли стишки вроде этого: Пифагоровы штаны Во все стороны равны. Формулировки теоремы тоже различны. Общепринятой считается следующая: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. «Пифагоровы штаны»

Страницы жизни Древнегреческий философ был сыном Мнесарха. Однажды Мнесарх прибыл в неурожайный год на остров Самос по своим торговым делам. Там на острове и родился его сын Пифагор, которого отец часто брал с собой в деловые поездки. Благодаря им у мальчика развилась любознательность и желание познать новое. Пифагор – это не имя, а прозвище, данное ему за то, что он высказывал истину в своём пифагорейском союзе постоянно.("Пифагор" значит убеждающий речью).В результате первой же прочитанной лекции, Пифагор приобрел 2000 учеников, которые не вернулись домой, а вместе со своими женами и детьми образовали громадную школу и создали государство, названное "Великая Греция", в основу которого были положены законы и правила Пифагора. Он был склонен к мистификациям и"демонстративности." Пифагор уделял большое значение физическим упражнениям, был олимпийским чемпионом по кулачному бою.

Способы доказательства теоремы Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum – ослиный дом, или elefuqa-бегство «убогих», так как некоторые ученики, не имели серьёзной математической подготовки. Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликих фигур. Дано два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата а+в. Каждый из квадратов разбит на части – это квадраты и прямоугольные треугольники. Если от площади квадрата вычесть учетверённую площадь прямоугольного треугольника с катетами а и в, то останутся равные площади, т.е. с ² = а²+в². в ав а в а в а с с²с² а²а² в²в² в ав в а ва а

Алгебраическое доказательство Дано: ABC-прямоугольный Доказать: AB ² = AC ² + BC ² Доказательство: 1) Проведем высоту CD из вершины прямого <С. 2) По определению косинуса угла соsА=AD/AC= =AC/AB, отсюда следует AB · AD = AC ². 3) Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB, значит AB · BD = BC ². 4) Сложив полученные равенства почленное, получим: AC ² + BC ² = АВ · (AD + DB) AB ² = AC ² + BC ².

Доказательство Евклида Дано: ABC-прямоугольный треугольник Доказать: S ABDE =S ACFG + S BCHI Доказательство: Пусть ABDE-квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC, а ACFG и BCHI-квадраты, построенные на его катетах. Опустим из вершины C прямого угла перпендикуляр CP на гипотенузу и продолжим его до пересечения со стороной DE квадрата ABDE в точке Q; соединим точки C и E, B и G. Очевидно, что <CAE=<GAB(=A+90°); отсюда следует, что треугольники ACE и AGB (закрашенные на рисунке) равны между собой (по двум сторонам и углу, заключённому между ними). Сравним далее треугольник ACE и прямоугольник PQEA; они имеют общее основание AE и высоту AP, опущенную на это основание, следовательно S PQEA =2S ACE. Точно так же квадрат FCAG и треугольник BAG имеют общее основание GA и высоту AC, значит S FCAG =2S GAB Отсюда и из равенства треугольников ACE и GBA вытекает равновеликость прямоугольника QPBD и квадрата CFGA; аналогично доказывается и равновеликость прямоугольника QPAE и квадрата CHIB. А отсюда, следует, что квадрат ABDE равновелик сумме квадратов ACFG и BCHI, т.е. теорема Пифагора.

Геометрическое доказательство Дано: ABC-прямоугольный треугольник Доказать: BC ² = AB ² + AC ². Доказательство: 1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E. 2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников: S ABED =2·AB·AC/2+BC ² /2(1) 3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна: S ABED =(DE+AB)·AD/2 (2) 4) Приравняем левые части выражений 1 и 2, то получим: AB·AC+BC ² /2=(DE+AB)(CD+AC)/2 AB·AC+BC ²/ 2= (AC+AB) ²/ 2 AB·C+BC ² /2= AC ² /2+AB ² /2+AB·AC BC ² =AB ² +AC ².

Применение Теорема 1: Разность квадратов двух сторон треугольника равна разности квадратов их проекции на третью сторону. Теорема 2: Если на прямой даны две точки, то на этой же прямой существует единственная точка, разность квадратов расстояний от которой до данных двух точек равна квадрату длины данного отрезка. Теорема 3: Если на стороне треугольника или на её продолжении дана точка, разность квадратов расстояний от которой до вершин, определяющих эту сторону, равна разности квадратов прилежащих сторон треугольника, то эта точка является основанием высоты, опущенной на данную сторону треугольника. Теорема 4: Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника). Теорема 5: Если две стороны треугольника образуют острый угол, то проекция одной из этих сторон на вторую сторону равна дроби, числитель которой равен сумме квадратов этих сторон без квадрата третьей стороны, а знаменатель –удвоенной второй стороне.

Теорема 6: Если две стороны треугольника образуют тупой угол, то проекция одной из этих сторон на вторую равна дроби, числитель которой равен квадрату третьей стороны без суммы квадратов первых двух сторон, а знаменатель – удвоенной второй стороне. Теорема 7: Квадрат стороны треугольника, лежащей против острого угла, равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения одной из этих сторон и проекции на неё другой стороны: A ² =B ² +C ² -2BCB, A ² =B ² +C ² -2CBC, Теорема 8: Квадрат стороны треугольника, лежащей против тупого угла, равен сумме квадратов двух других сторон, сложенной с удвоенным произведением одной из этих сторон, и проекции на неё другой стороны: A ² =B ² +C ² +2BCB, A ² =B ² +C ² +2CBC Теорема 9: В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон: L ² +F ² =2A ² +2B ². Теорема 10: Квадрат медианы треугольника равен полусумме квадратов, заключающих её стороны без квадрата половины третьей стороны: m = (a +в)/2-c/4. Теорема 11: Если из точки, лежащей вне окружности, провести к окружности секущую, то произведение отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью не зависит от направления секущей и оно равно разности квадрата расстояния от данной точки до центра окружности и квадрата радиуса окружности. Теорема 12: Если через точку, лежащую внутри окружности, провести хорду, то произведение отрезков этой хорды от данной точки до концов хорды не зависит от направления хорды и оно равно разности квадрата радиуса окружности и квадрата расстояния от данной точки до центра окружности: AC·BD=R ² -OA ² Применение

Значение теоремы Теорема Пифагора- это одна из самых важных теорем геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Одна из теорем позволяет убедиться в том, что если из точки вне прямой проведены к ней перпендикуляр и наклонные, то: а) наклонные равны, если равны их проекции; б) та наклонная больше, которая имеет большую проекцию. Теорема Пифагора была первым утверждением, связавшим длины сторон треугольников. Потом узнали, как находить длины сторон и углы остроугольных и тупоугольных треугольников. Возникла целая наука тригонометрия («тригон» - по-гречески означает «треугольник»). Эта наука нашла применение в землемерии. С помощью прямоугольного треугольника были построены Египетские пирамиды. Но ещё раньше с её помощью научились измерять воображаемые треугольники на небе, вершинами которых были звёзды. Сейчас тригонометрию применяют даже для измерения расстояний между космическими кораблями. Теорема Пифагора позволяет по любым двум сторонам прямоугольного треугольника найти его третью сторону. Решая эту задачу, нам приходится по известному квадрату положительного числа находить само это число. Благодаря тому, что теорема Пифагора позволяет находить длину отрезка (гипотенузы), не измеряя его непосредственно, она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в трёхмерное пространство и дальше – в многомерные пространства. Этим определяется её исключительная важность для геометрии и математики в целом.