Учебное пособие по дисциплине «Элементы высшей математики» Преподаватель: Французова Г.Н.

Определение производной. Таблица производных. «Арифметические» свойства производной. Производная сложной функции. Геометрический смысл производной.

Задача о скорости материальной точки Пусть s = s(t) представляет закон прямолинейного движения материальной точки. Это уравнение отражает путь s, пройденный точкой как функцию времени t. Обозначим через путь, пройденный точкой за промежуток времени от момента времени t до т.е.

Отношение называется средней скоростью точки за время от t до

Чем меньше т.е. чем короче промежуток времени от t до тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент времени t. Поэтому естественно ввести понятие скорости v в данный момент t, определив её как предел средней скорости за промежуток от t до когда Величину v называют мгновенной скоростью точки в данный момент t.

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке (a; b). Возьмём какое-нибудь значение х из (a; b). Затем возьмём новое значение аргумента из этого промежутка, придав первоначальному значению х приращение (положительное или отрицательное). Этому новому значению аргумента соответствует и новое значение функции Где Теперь составим отношение: Оно является функцией от

Если существует предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента когда стремится к нулю, то этот предел называется производной от функции y = f(x) в данной точке х и обозначается через y или f(x) (читается «игрек штрих» или «эф штрих от икс» ):

Для обозначения производной принят также и следующий символ (читается «дэ игрек по дэ икс» ). Эту запись надо рассматривать пока как целый символ, а не как частное. - Производная

Дифференцирование - действие нахождения производной функции в точке или в промежутке. Дифференцируемая в точке х – функция, имеющая производную в точке х. Дифференцируемой в промежутке - функция, дифференцируемая в каждой точке промежутка.

1. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е. 2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производного каждого из сомножителей на все остальные, например:

3. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле: (при условии, что)

Найти производную функции y = f(x) и вычислить её значение в точке х=1 :

Значение производной в точке х=1 есть

Найти производную функции y = f(x) и вычислить её значение в точке х=1: Решение: Сначала вынесем постоянный множитель за знак производной: Ответ:

Пример 3. Найти производную функции y = f(x) и вычислить её значение в точке х=1: Решение:

Ответ: Значение производной в точке х=1 есть:

Таблица производных элементарных функций

Пусть задана сложная функция y = f(g(x)). Если y = f(u) и u = g (x)- дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х, т.е.

Пример 4 : Найти производную функции:

Решение: Функцию можно представить в виде где Поэтому на основании приведённой формулы, получим:

Пример 5 : Найти производную функции:

Решение: Имеем где поэтому на основании приведённой формулы, получим:

Обратная функция Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е.

Геометрический смысл производной