Теория автоматического управления УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. ПРЕДЕЛЬНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ УСИЛЕНИЯ. «Линейные системы» лекции 8, 9

Устойчивость линейных систем Пусть движение системы описывается дифференциальным уравнением Некоторое вполне определенное движение системы, подлежащее исследованию на устойчивость, называют невозмущенным движением x* = x*(t) Вводится новый вектор e(t) = x(t) – x*(t), который удовлетворяет уравнению возмущенного движения

где невозмущенное движение системы Необходимые и достаточные условия устойчивости линейных систем: для того чтобы линейная система была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости комплексной плоскости. Дифференциальное уравнение возмущенного движения В соответствии с определением устойчивости по Ляпунову, система будет асимптотически устойчивой, если Необходимое условие устойчивости – положительность коэффициентов характеристического уравнения.

Звено называется устойчивым по входу (осуществляющем устойчивое преобразование «вход-выход») если при любой ограниченном входном воздействии u(t) и нулевых начальных условиях выходная реакция y(t) является ограниченной при любом конечном и при Теорема 1. Для того чтобы звено, описываемое уравнением было устойчивым по входу, необходимо и достаточно выполнение условия Критерий устойчивости по входу. Устойчивость по входу имеет место, если для передаточной функции выполнены условия: – условие строгой реализуемости передаточной функции; 2) характеристический многочлен звена A(p) имеет корни только с отрицательной веществ частью – условие устойчивости характерного многочлена. 1)

1. Алгебраический критерий Раусса – Гурвица Характеристическое уравнение системы имеет вид. Составляют матрицу Гурвица: Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы Гурвица были больше нуля:

2. Частотные критерии устойчивости Принцип аргумента Пусть дан некоторый полином n-степени Приращение аргумента при изменении частоты от до равна разности между числом левых и правых корней уравнения H(p) = 0, умноженной на

2.1. Критерий Михайлова Для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического уравнения при изменении частоты w от 0 до, начинался на действительной положительной полуоси и проходил в положительном направлении последовательно n квадрантов координатной плоскости, где n – порядок характеристического уравнения.

2.2. Критерий Найквиста 1) = 0 – система статическая, разомкнутая система устойчива; 2) = 0 – разомкнутая система неустойчива; 3) – система астатическая 1 передаточная функция замкнутой системы, если W(p) устойчива

I - система устойчива II - на границе устойчивости III - неустойчива система условно устойчива Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф комплексного коэффициент усиления разомкнутой системы не охватывал точку с координатами (-1, j0) при изменении частоты w от 0 до.

2 разомкнутая система неустойчива и имеет m корней в правой полуплоскости если W(p) устойчива Если разомкнутая система неустойчива и имеет m правых полюсов, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф комплексного коэффициента усиления разомкнутой системы охватывал точку с координатами (-1, j0) раз в положительном направлении при изменении частоты от 0 до. Пример k > 1 - замкнутая система устойчива k < 1 - замкнутая система неустойчива

3 Введем вспомогательную функцию где при = 0. Для определения устойчивости замкнутых систем с астатизмом любого порядка, годограф разомкнутой системы дополняется дугой окружности большого радиуса в положительном направлении до действительной положительной полуоси и к полученному годографу применяется 1-я или 2-я формулировка критерия Найквиста в зависимости от того, устойчива разомкнутая система или нет.

Примеры А) система с астатизмом 2 порядка, устойчива Б) система с астатизмом 3 порядка, неустойчива В) система с астатизмом 3 порядка, условно устойчива

2.3. Логарифмический аналог критерия Найквиста Частоту, при которой модуль комплексного коэффициента усиления равен единице, называют частотой среза В устойчивых системах фазовый сдвиг может достигать значения только при модулях, меньших чем единица для устойчивых систем для неустойчивых для систем на границе устойчивости Если фазочастотная характеристика разомкнутой системы пересекает справа от частоты срезы линию, то замкнутая система устойчива, слева – неустойчива, если пересечение происходит в точке, то замкнутая система на границе устойчивости. PS. Когда годограф комплексного коэффициента усиления разомкнутой системы W(jw) пересекает отрицательную вещественную полуось, ФЧХ пересекает линию

I – система устойчива II – на границе устойчива III – система неустойчива

Пример Определим устойчивость замкнутой системы, если передаточная функция разомкнутой представляет собой неустойчивое апериодическое звено замкнутая система устойчива

1. Определение с помощью алгебраического критерия Раусса – Гурвица Характеристическое уравнение системы имеет вид. Составляют матрицу Гурвица: При равенстве нулю предпоследнего определителя система находится на границе устойчивости (колебательная устойчивость), поскольку в этом случае характеристический многочлен имеет пару чисто мнимых корней, в результате чего в системе возникают незатухающие автоколебания, т.е. система находится на границе устойчивости. Значение коэффициента усиления разомкнутой системы, при котором замкнутая система находится на границе устойчивости называется предельными коэффициентом усиления системы. Предельный коэффициент усиления

Пример Определить предельный коэффициент усиления Передаточная функция замкнутой системы: Характеристическое уравнение: Составим матрицу Гурвица: Для устойчивых систем

2. Определение с помощью критерия Михайлова Передаточная функция разомкнутой системы: Передаточная функция замкнутой системы: Годограф Михайлова 1) система статическая 2) система астатическая

3. Определение с помощью критерия Найквиста Запас устойчивости по фазе определяют как величину угла для частоты среза, при которой ; Запас устойчивости по амплитуде равен величине отрезка оси абсцисс h, заключенного между предельной точкой (-1, j0) и амплитудно-фазовой характеристикой

4. Применение логарифмического аналога критерия Найквиста