Введение В различных математических олимпиадах последних лет ученикам всё чаще предлагают уравнения, которые содержат знак функции антье. Но, как показывает практика, большинство из них слабо решают такие уравнения. Это объясняется некоторой сложностью данных задач, а также недостаточной разработкой способов их решения в учебно-методической литературе. В курсе математики средней школы эти понятия, как правило, не изучаются, и, поэтому, многие школьники вообще не приступают к решению подобных задач. Поэтому я решил изучить эту тему.

Антье числа Целой частью некоторого действительного числа а (или функцией антье) называется наибольшее целое число, которое не превышает а. Из самого определения понятно, что [a] a, причём равенство будет только тогда, когда число а - целое. В литературе целая часть обозначается символом [a] или (реже) Е (a). Примеры: [0] = 0; [17,38] = 17; [-2,5] = -3;[-100] = -100.

Дробная часть числа По определению целой части имеем: [x] x < [x] + 1, или 0 x – [x] < 1. Число β, что соответствует условию β = х – [x], называют дробной частью числа х и обозначают {x}. Таким образом х = [x] +β, где 0 β < 1. Понятно, что дробная часть числа может принимать только положительные значения, меньшие единицы, или равняться нулю: 0 {a} < 1. Примеры: {5} = 0; {23,82} = 0,82; {-126} = 0; {- 2,32} = 0,68.

Построение графика функции у = [f (x)] Строим график функции y = f (x). Проводим прямые y=n (n є Z) и рассматривают одну из полос, образованных прямыми у=n и у=n+1. Точки пересечения прямых y = n, y = n + 1 с графиком функции y = f (x) будут принадлежать графику функции y = [f (x)]. С точек пересечения прямых и графика опускаем перпендикуляры на ось ОХ. На полученных промежутках строим график функции-константы f (x) = м.

Графический метод решения уравнений со знаком антье В основе графического метода лежит нахождение точек пересечения графиков функций левой и правой частей уравнения. Обычно данный метод применяется, когда графики обеих частей уравнения достаточно просто строятся и легко находятся точки пересечения этих графиков. Этим методом лучше пользоваться для интерпретации решений или для того, чтобы установить план аналитического решения.

Пример решения уравнения со знаком антье графическим методом Решить уравнение: Решение. Преобразуем уравнение:. Решением данного уравнения будут точки пересечения графиков функций и y =. Как видно из рисунка это единственная точка, которая находится из уравнения, таким образом, решая последнее уравнение, находим, что x =.

Аналитический метод решения уравнений и неравенств Существует несколько способов решения таких уравнений. В основе аналитического способа лежит использование свойств антье и дробной части. В частности рассмотрим решения двух типов уравнений, связанных с функцией антье: [f (x)] = γ (x) [f (x)] = [γ (x)]

Решение уравнений вида [f (x)]= γ (х) 1. Обозначим γ (х) = м (где м є Z) и выразим х через м; получаем х = g (м). 2. Подствляем х в левую часть уравнения: [f (g (м))] = м. Последнее уравнение будет равносильно совокупности k уравнений где k показывает значность функции g (м). 3. Исходя из свойств антье и условия, что м є Z, получаем двухстороннее неравенство : 0 f (g (м)) – м < 1, которое равносильно системе 4. Из решений системы отбираем целые значения м 1, м 2, …, мп. 5. Полученые значения м 1, м 2, …, мп подставляем в равенство х = g (м). Совокупность всех найденных таким образом решений и будет решением уравнения.

Пример решения уравнения со знаком антье аналитическим методом Решите уравнение: Решение. Пусть. Подставим х в левую часть уравнения:. Заменим последнее уравнение двухсторонним неравенством:. Это неравенство равносильно системе: Решением этой системы будет м Так как м є Z, то Ответ.

Решение уравнений вида [f (x)]=[γ (х)] Очевидно, решениями уравнения могут быть только те значения х, для которых правая и левая часть его принимают одинаковые целые значения м, то есть [f (x)] = м и [γ (x)] = м. Исходя из определения функции антье, делаем вывод: это будут только те значения х, которые являются решениями системы двух двухсторонних неравенств

Решение уравнений вида [f (x)]=[γ (х)] Чаще всего невозможно перебирать все те значения м, которые может принимать функция f (x) и γ (х), чтобы для каждого конкретного значения м найти решения соответственной системы: Поэтому нужно установить множество значений м, для которых система, а итак, и данное уравнение имеет решение. Для этого решим два неравенства системы относительно х. Полученные результаты будут выражены через м. За ними мы установим те значения м, для которых система имеет решение.

Решение уравнений вида [f (x)]=[γ (х)] Если функция монотонная Решения обоих двухсторонних неравенств запишутся с помощью одной серии промежутков. Например, возьмём один из возможных случаев Теперь надо отобрать те значения м, для которых [ (м); (м))[ (м); (м)) Ǿ. Очевидно, система не имеет решений для тех м, для которых (м) (м) или (м) (м). Совокупность решений этих двух неравенств даст возможность исключить те значения м, для которых система не имеет решений. Для остальных значений м находим последовательно решения системы, которые и будут решениями уравнения.

Заключение Цель, поставленная в работе, достигнута. Я исследовал целую и дробную части числа, а именно основные свойства, алгоритм построения графиков, графический и аналитический методы решения некоторых уравнений, содержащих знак функции антье. Для построения графиков, содержащих антье или дробную часть, существуют определённые алгоритмы, которые основаны на рассуждениях и свойствах антье и дробной части. Некоторые уравнения можно решать графическим методом. Но этим методом удобно решать только довольно простые уравнения. Поэтому данные уравнения лучше решать аналитическим методом, который основан на свойствах целой и дробной части числа.