Підготувала учитель математики вищої кваліфікаційної категорії МЗШ І-ІІІ ступенів 32 ЛІФАНОВА К.К.

ЩО ТАКЕ ПЕРЕРІЗ МНОГОГРАННИКА? Якщо жодна з двох точок не належить площині, а відрізок, що їх сполучає, має з цією площиною спільну точку, то кажуть, що дані точки лежать по різні боки від площини. А якщо принаймні дві точки многогранника лежать по різні боки від площини, кажуть, що площина перетинає многогранник. У цьому разі її називають січною площиною. Фігура, яка складається з усіх точок, спільних для многогранника і січної площини, називається перерізом многогранника даною площиною.

Оскільки тетраедр має чотири грані, то його перерізами можуть бути тільки трикутники та чотирикутники (рис. 1). Рис. 1

Паралелепіпед має шість граней. Його перерізами можуть бути трикутники (рис. 2, а), чотирикутники (рис. 2, а), пятикутники (рис. 2, б) та шестикутники (рис. 2, в). Рис. 2

Рис. 4

У залежності від розташування точок, що задають січну площину, січна площина може бути паралельною тій чи іншій грані призми, не перетинаючи самої грані; точки перетину можуть знаходитися не на ребрі, а на його подовженні і т.д.(наприклад, рис. 5). Рис. 5

Задача 3. Побудувати переріз даної пятикутної піраміди площиною, що проходить через сторону основи піраміди і точку на одному з її бокових ребер. Рис. 6

Метод внутрішнього проектування Цей метод універсальний, має деякі переваги над методом слідів, особливо в тому випадку, коли слід січної площини знаходиться далеко за межами рисунка. В чому зміст внутрішнього паралельного проектування? У призмі площину основи беруть за площину проекцій, а за напрям проектування – її бічне ребро.

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10 Рис. 11

Розвяжемо одну й ту ж задачу різними способами. Задача 6. Дві бічні грані чотирикутної призми паралельні. Побудуйте переріз цієї призми площиною, яка проходить через три дані на бічних ребрах точки. Перший спосіб – спосіб слідів.

Рис. 13

Другий спосіб. Спосіб внутрішнього проектування (або відповідності), розглянутий раніше (задача 4). Третій спосіб. Спосіб паралельних площин. Рис. 14

Пропонуємо більш складну задачу на побудову перерізу многогранника площиною, що проходить через точки, задані на попарно мимобіжних ребрах. Задача 7. На трьох попарно мимобіжних ребрах паралелепіпеда взято три точки. Побудуйте переріз, що проходить через ці три точки. Рис. 15

Рис.16

Наведені в роботі приклади розвязування задач не треба розглядати як обовязкові або стандартні зразки, їх можна розвязати іншими способами, саме в цьому і полягає творчість читача. Хотілося б спонукувати читача до самостійного пошуку розвязування задач на побудову перерізів многогранників.