П р е д е л последовательности

Рассмотрим две числовые последовательности (у n ) и (х n ) и изобразим их члены точками на координатной прямой. (у n ): 1, 3, 5, 7, 9,…, 2n – 1,…; (хn):(хn): у х Понятие сходящейся последовательности Обратим внимание, что члены последовательности (х n ) как бы «сгущаются» около точки 0, а у последовательности (у n ) такой точки нет. В подобных случаях говорят, что последовательность (х n ) сходится, а последовательность (у n ) расходится.

Понятие сходящейся последовательности (у n ): 1, 3, 5, 7,…,(2n-1),... Нет точки сгущения Последовательность расходится (х n ): 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/6,…1/n,.. Точка сгущения – 0 Последовательность сходится Чтобы узнать является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности, введем следующее понятие.

Определение 1. Пусть а – точка прямой, а r – положительное число. Интервал (а - r; a + r) называют окрестностью точки а, а число r – радиусом окрестности. Пример. (3,97; 4,03) – окрестность точки 4, радиус равен 0,03. х a-ra-ra+r a Окрестность точки

В математике «точку сгущения» для членов заданной последовательности принято называть «пределом последовательности». Определение 2. Число b называют пределом последовательности (у n ), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Обозначение: 1. (у n стремится к b или у n сходится к b); 2. (предел последовательности у n при стремлении n к бесконечности равен b) Предел последовательности

Формулы 1) lim 1/n = 0 n 2) lim q n = 0, если 0 < |q| < 1 n Если q > 1, то lim q n не существует. n 3) lim С = С n 4) lim (к /n m) = 0 n

Построим графики последовательностей: Предел последовательности

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 у = 2 у = 0

Обратите внимание, что на всех трех рисунках точки графика, по мере их ухода вправо, все ближе и ближе подходят к некоторой горизонтальной прямой: на рис 1 – к прямой у = 0, на рис 2 – к прямой у = 0, на рис 3 – к прямой у = 2. Каждую из этих прямых называют горизонтальной асимптотой графика. Асимптоты графика

Вообще равенство означает, что прямая у = а является горизонтальной асимптотой графика последовательности, т.е. графика функции у = b Асимптоты графика

Свойства Если последовательность сходится, то только к одному пределу. Если последовательность сходится, то она ограничена. Обратноеневерно:1,2,3,1,2,3,… ограниченная последовательность, но она не сходится Теорема Вейерштрасса Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Карл Теодор Вейерштрасс- выдающийся немецкий математик, отец «современного анализа» г. Кратер на Луне

Правила вычисления пределов Если lim х n = b и lim у n = c, то n n 1)Предел суммы равен сумме пределов: lim (х n + у n ) = lim х n + lim у n = b + c n n n 2)Предел произведения равен произведению пределов: lim (х n · у n ) = lim х n lim у n = b · c n n n 3)Предел частного равен частному пределов: lim (х n : у n ) = lim х n : lim у n = b : c n n n 4)Постоянный множитель можно вынести за знак предела: lim (k · х n ) = k · lim х n = k b n n

Пример. Вычислить Решение. Делим числитель и знаменатель дроби почленное на наивысшую из имеющихся степень переменной n, т.е. на n 2. Примеры вычисления пределов

Проверь себя! Какие последовательности называют сходящимися? Пример. Что такое окрестность точки a радиуса r? Сформулируйте определение предела последовательности? Какие формулы пределов последовательностей вы знаете? Перечислите свойства сходящихся последовательностей. Перечислите правила (теоремы) вычисления пределов последовательностей. Какими приемами пользуются для вычисления пределов последовательностей. Назовите имя выдающегося математика, именем которого названа теорема о свойстве пределов.