1 Элементы дифференциального исчисления. 2 Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1. Производные 2. Таблица производных 3. Дифференциал.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Элементы дифференциального исчисления Лекция 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1. Производные 2. Таблица производных 3. Дифференциал.
Advertisements

Производная функции.
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Лекция 3 Дифференциальное исчисление Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР.
Производная и ее применение в науке и технике Выполнил: Егоров Даниил, студент 1-ого курса ЧЭМК.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное исчисление Тема: Производная функции.
Производная функции Производные высших порядков Производные от функций, заданных параметрически Дифференциал функции Геометрический смысл дифференциала.
Производная функции. Производная функции (1) Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (включая точку ). Определение 1. Определение 2. Касательной.
Определение производной функции Правила дифференцирования Пример Дифференцирование обратной функции Пример Производные основных элементарных функций Правило.
1 2 Определение производной функции в точке Непрерывность дифференцируемой функции Дифференциал функции Геометрический смысл производной и дифференциала.
Дифференциал функции Определение 1. Пусть приращение функции можно представить в виде где A не зависит от, - бесконечно малая более высокого порядка малости,
Лектор Белов В.М г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное исчисление Тема: Дифференциал функции. Производные и дифференциалы порядка n.
Основы высшей математики и математической статистики.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
Пусть функция y=f(x) определена на промежутке Х. Выберем точку Дадим аргументу x приращение Δx, тогда функция получит приращение Δy=f(x+Δx)- f(x).
§5. Производная неявно заданной функции. Чтобы найти производную надо продифференцировать обе части равенствa F(x,y)=0, учитывая, что y=y(x) есть функция.
Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 5. Тема: Непрерывность функции. Точки разрыва. Производные.
Бер Л.М. Дифференциальное исчисление ТПУ Рег. 283 от Company Logo Дифференциальное исчисление Задача 2. Пусть (t) есть количество вещества прореагировавшего.
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ. В моей презентации речь пойдёт о понятии производной, правилах её применения в науке и технике и о решении задач в этой области.
Производная и дифференциал.. Вычисление производной путем логарифмирования. Функцию вида называют показательно-степенной или сложной показательной функцией.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций.
Транксрипт:

1 Элементы дифференциального исчисления

2 Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1. Производные 2. Таблица производных 3. Дифференциал 4. Производные и дифференциалы высших порядков 5. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях 6. Применение производных к исследованию функций 7. Общая схема исследования функции и построение графика

3 Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1. Производные 2. Таблица производных 3. Дифференциал 4. Производные и дифференциалы высших порядков 5. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях 6. Применение производных к исследованию функций 7. Общая схема исследования функции и построение графика

4 Производная. Задача о касательной Изобразим график функции, непрерывной в интервале. Найдем, изобразим соответствующую точку на графике. Дадим приращение, найдем, а затем построим точку на графике и секущую.

5 Производная. Задача о касательной Определение. Если существует предельное положение секущей при стремлении вдоль по кривой, то оно называется касательной к графику функции в точке. x0x0 y 0 к

6 Производная. Задача о касательной Обозначим угол наклона касательной к графику функции в точке Очевидно, при а при стремится к :. Тогда угловой коэффициент касательной равен.

7 Производная. Определение Пусть функция у = определена в интервале и пусть точка Рассмотрим далее точку В обеих точках вычислим значения функции и разность. Эту разность будем называть приращением функции в фиксированной точке.

8 Производная. Определение Если существует конечный (или бесконечный) =, то он называется конечной (или бесконечной) производной функции в точке и обозначается символами ;, т.е.

9 Примеры Ясно, что угловой коэффициент касательной равен производной в точке касания. Приведем примеры. y y в точке 0

10 Уравнение касательной Касательную как прямую, проходящую через точку касания, задают уравнением. Например, уравнение касательной к кривой в точке (1;2) имеет вид у-2=2(х-1) или 2 х-у=0.

11 Теоремы о производных

12 Теоремы о производных

13 Теоремы о производных

14 Теоремы о производных Например: y x y' не существует в точке

15 Примеры

16 Примеры

17 Производная обратной функции Теорема. Пусть функция х=f(y) монотонна и дифференцируема в некотором интервале (a,b) и имеет в точке у этого интервала не равную нулю производную. Тогда в соответствующей точке х обратная функция имеет производную или.

18 Примеры Для функции y=arcsinx обратной является функция x=siny, которая в интервале (-π/2;π/2) монотонна и дифференцируема. Ее производная в этом интервале в нуль не обращается. Поэтому

19 Примеры Итак, Аналогично можно получить

20 Теорема о производной сложной функции

21 Производные гиперболических функций Гиперболическими называют функции

22 Производные гиперболических функций Поэтому

23 Производная степенной функции с любым показателем степени Справедливо тождество Тогда

24 Таблица производных

25 Таблица производных

26 Дифференцируемая функция

27 Дифференциал функции

28 Дифференциал функции

29 Дифференциал функции

30 Дифференциал функции

31 Дифференциал функции

32 Инвариантность дифференциала По правилу дифференцирования сложной функции Здесь форма дифференциала остается неизменной, но под дифференциалом аргумента понимается не приращение этого аргумента, а его дифференциал.

33 Производные высших порядков

34 Дифференциалы высшего порядка Дифференциал от дифференциала данной функции называется ее дифференциалом второго порядка и обозначается. По определению Итак, и т.д.

35 Дифференцирование функций, заданных параметрически Пусть функция у от х задана параметрическими уравнениями И пусть эти функции дифференцируемы. Тогда Если существует вторая производная, то

36 Пример Найти производную функции Имеем

37 Производные неявных функций Пусть значения х и у связаны уравнением F(x,y)=0. Если функция у=f(х), определенная на некотором интервале (а,в), при подстановке ее вместо у в уравнение F(x,y)=0 обращает это уравнение в тождество, то говорят, что это уравнение задает функцию у=f(х) неявно.

38 Продолжение Продифференцируем функцию. Имеем. Отсюда

39 Продолжение Найдем вторую производную. Так как то

40 Логарифмическое дифференцирование Найти производную функции Прологарифмируем обе части Теперь берем производную Окончательно