Серед усіх наук, що відкривають людству шлях до пізнання законів природи є наймогутніша, найважливіша наука – математика. С.В. Ковалевська Серед змістовних ліній математики є тема Рівняння Рівняння – це золотий ключик, який відкриває всі математичні сезами С. Коваль

\ в якому вивчають тригонометричні функції та їх застосування. Тригонометричні функції-функції, аргументрами яких є кути або дуги.

Алгебра багато століть розвивалася як наука про рівняння

Для розвязування цих відомих нам рівнянь ми користуємося заздалегідь виведеними формулами або виробленими алгоритмами, що значно спрощує роботу.

Особливістю є те: -що загальних методів, загального способу не існує; -що вони або зовсім не мають розвязків, або мають безліч, внаслідок періодичності.

Множину розвязків тригонометричних рівнянь, яка задається формулою називається серією. Розвязки, які одержують при конкретних значеннях n (k), називають частковими розвязками.

Пробуємо всі тригонометричні функції звести до одного аргументу; Якщо вдалося звести до одного аргументу, то пробуємо всі тригонометричні вирази звести до однієї функції; Якщо до одного аргументу вдалося звести, а до однієї функції ні, то пробуємо звести рівняння до однорідного; Якщо попередні пункти не виконуються, то пробуємо одержати добуток; В решті випадків переносимо всі члени в один бік і використовуємо спеціальні прийоми розвязування (намагаємося розпізнати типове рівняння).

Приклад. Розвязати рівняння sin 2 x + 4sinx -5 = 0 Розвязання. Заміна sinx=t.Одержуємо t 2 +4t -5 =0; t= -5; t=1. Тоді sinx=-5, sinx=1 Якщо до рівняння змінна входить в одному й тому ж вигляді, то зручно цей вигляд змінної позначити однією буквою (новою змінною)

4cosx – 4 = sin 2 x, sin 2 x–4cosx+4 =0, 1-cos 2 x-4cosx+4=0, cos 2 x+ 4cosx -5=0, тоді cosx =-5, cosx = 1. Зводяться до однієї функції, вводиться нова змінна і одержується алгебраїчне рівняння, зокрема квадратне.

Приклад: cos2x + sinx = 0 1 – 2sin 2 x +sinx =0, 2sin 2 x-sinx -1=0, тоді sinx=1 або sinx=-1/2 В такому випадку слід виконати такі перетворення, щоб утворилися однакові аргументи та залишилася лише одна функція.

Рівняння називається однорідним рівнянням відносно sinx і cosx, якщо сума показників степенів у кожному доданку однакова( дорівнює степеню рівняння). Загальний запис: asinx +bcosx =0; asin 2 x + bcosxsinx +ccos 2 x = 0 Ідея розвязування: ділення членів рівняння на cosx або sinx в степені,що дорівнює степеню рівняння. Але при цьому необхідні обгрунтування, що cosx не дорівнює нулю, що є частиною розвязування рівняння. Приклади: Sin3x- 2cos3x=0, 3sin 2 x-=2sinxcosx-cos 2 x=0, cos 2 x -3cosxsinx = -1, 6sin 2 x+1/2sin2x-cos 2 x =2.

Cos3xsin2x+cos3x =0, 3cosx/2 – sinx =0, Sin 2 x – sin2x = 0. Для розвязування використовуються відповідні формули та умова рівності добутку нулю.

Серед типових є рівняння asinx + bcosx = c. Рівняння одне, а способів 10! Приклад: sinx + cosx = -1. Можливі 3 шляхи розвязування: - рівносильні перетворення(що не змінюють ОДЗ); - перетворення, що звужують ОДЗ; - перетворення,що розширюють ОДЗ.

Приклад: sinx + cosx =-1,

Знайдемо ті значення х при яких тангенс не існує Перевіримо, чи є коренями даного рівняння (при ) + -1= -1, то є коренем даного рівняння.

Якщо: n=0, то x=0; n=1, то x= n=2, то x= n=4, то х= n=3, то х= Отже, x= π і х=3 π/2 – корені даного рівняння, а x=0 і x= π/2 – сторонні корені. Відповідь:

Рівняння, що розвязуються: -перетворенням суми в добуток; -використанням формул пониження степеня; -перетворенням в суму, а потім в добуток; -використанням оцінки множини значень; Рівння з додатковими умовами; Рівняння, що містять суму і добуток sinx і cosx; Рівняння, для розвязування яких використовуються формули потрійного аргументу.

Поняття рівняння пронизує весь шкільний курс математики. Мова алгебри рівняння. Без них не обходяться такі сьогодні предмети як фізика, хімія, географія, біологія, економіка...

Рівняння – це не просто рівність З одною змінною чи кількома. Рівняння – це думок активність. Це інтелекту боротьба. То ж будьте творчими,активно розвивайтесь Долайте труднощі у своєму житті, Але з рівняннями, прошу не розлучайтесь. Вони послужать вам ще в майбутті Л.О.БУКАТА