Готовимся к ЕГЭ. Задача С2. Задачи, где присутствует построение сечения МБОУ г. Мурманска гимназия 3 Шахова Татьяна Александровна

Основная волна (июнь – Центр) Основная волна (июнь – Сибирь) Вторая волна (резервный день) Критерии. Обоснованно получен правильный ответ (2 балла). Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано (1 балл). Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше (0 баллов). Максимальный балл 2 1 Задачи из тренировочных работ (alexlarin.net) 234

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC. Решение: D N В С А M О L Задачи Построим сечение пирамиды плоскостью α. (СMA) проходит через прямую АС, параллельную α и пересекает α => линия пересечения плоскостей (СMA) и α параллельна АС. Д. п.: через точку L проведем QЕ||АС. Четырехугольник ВQNE – искомое сечение. Q E

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC. Решение: N В С А M О L BN медиана треугольника BMD => (диагональ квадрата) Q E D Задачи

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC. Решение: N В С А M О L МО и МL – их высоты L – точка пересечения медиан треугольника BMD => Треугольники СМА и ОМЕ – подобны, Q E D Задачи

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC. Решение: N В С А M О L Q E D BD АC (п-я BN на (АВD)) QE || АC Если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны, то его площадь равна половине произведения диагоналей. Задачи

В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 сторона основания равна 6, а боковое ребро АА 1 =1. Точка F принадлежит ребру C 1 D 1 и делит его в отношении 2:1, считая от вершины С 1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки А, С и F. Решение: В С А D В1В1 С1С1 А1А1 D1D1 F Секущая плоскость пересекает параллельные грани параллелепипеда по параллельным прямым. Д. п.: FK || AC. Трапеция AKFC – искомое сечение. Построим сечение. К Задачи

В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 сторона основания равна 6, а боковое ребро АА 1 =1. Точка F принадлежит ребру C 1 D 1 и делит его в отношении 2:1, считая от вершины С 1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки А, С и F. Решение: В С А D В1В1 С1С1 А1А1 D1D1 F Треугольники KD 1 F и ADC подобны К (диагональ квадрата) Д. п.: LK || AA 1. L Из треугольника KLA:Из треугольника FC 1 C: Задачи

В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 сторона основания равна 6, а боковое ребро АА 1 =1. Точка F принадлежит ребру C 1 D 1 и делит его в отношении 2:1, считая от вершины С 1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки А, С и F. Решение: В С А D В1В1 С1С1 А1А1 D1D1 F К АС КF H Из треугольника KHA: Задачи

N В правильной треугольной пирамиде МАВС с вершиной М высота равна 3, а боковые ребра равны 6. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон АВ и АС параллельно прямой МА. Решение: С A B M O Д. п.: NL || AM. Четырехугольник NLQE – искомое сечение. Построим сечение плоскостью α. Е L Q (СMA) проходит через прямую MA, параллельную плоскости α и пересекает ее => линия пересечения плоскостей (СMA) и α параллельна MA. Д. п.: EQ || AM. (BMA) проходит через прямую MA, параллельную плоскости α и пересекает ее => линия пересечения плоскостей (СMA) и α параллельна MA. Задачи

NL || AM, CN=NA N В правильной треугольной пирамиде МАВС с вершиной М высота равна 3, а боковые ребра равны 6. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон АВ и АС параллельно прямой МА. Решение: С A B M O => NLQE – прямоугольник E L Q MA || NL NL – средняя линия треугольника СМА H Т. Фалеса EQ || AM, AE=EB EQ – средняя линия треугольника BМА NLQE – параллелограмм АH CВ (п-я MA на (АВC)) CB || NE Задачи NL= и || EQ

N В правильной треугольной пирамиде МАВС с вершиной М высота равна 3, а боковые ребра равны 6. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон АВ и АС параллельно прямой МА. Решение: С A B M O E L Q H Из треугольника MAO: Из треугольника CAH: Задачи О – точка пересечения медиан треугольника АВС

На ребрах АА 1 и СС 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 отмечены соответственно точки К и F такие, что АЕ=2А 1 К,CF=2C 1 F. Через точки В,К и F проведена плоскость, делящая куб на две части. Найдите отношения объема части, содержащей точку В 1, к объему всего куба. Решение: В С А D В1В1 С1С1 А1А1 D1D1 F К Задачи L P N T Построим сечение куба плоскостью (KBF) (АВВ 1 )||(DCC 1 ) => (KBF)(АВВ 1 ) и (DCC 1 ) по параллельным прямым Д.п.:FP || KB (АDD 1 )||(BCC 1 ) => (KBF)(АDD 1 ) и (BCC 1 ) по параллельным прямым Д.п.:KL || BF KBFPL – искомое сечение Отсеченная часть – пирамида BNB 1 D, от которой отрезаны равные пирамидки с основаниями NLA 1 и PTC 1 Такая идея возникнет сама собой, если построить сечение методом следов

Решение: В С А D В1В1 С1С1 А1А1 D1D1 F К Задачи L P N T Построим сечение куба плоскостью (KBF) ВКА 1 В 1 =N (лежат в одной плоскости) т. N и Т А 1 В 1 С 1, NTA 1 D 1 =L, NTD 1 C 1 =P KBFPL – искомое сечение Отсеченная часть – пирамида BNB 1 D, от которой отрезаны равные пирамидки с основаниями NLA 1 и PTC 1 ВFB 1 C 1 =T (лежат в одной плоскости) На ребрах АА 1 и СС 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 отмечены соответственно точки К и F такие, что АЕ=2А 1 К,CF=2C 1 F. Через точки В,К и F проведена плоскость, делящая куб на две части. Найдите отношения объема части, содержащей точку В 1, к объему всего куба.

Треугольник NBB 1 подобен треугольнику NKA 1 k=3/1 Решение: В С А D В1В1 С1С1 А1А1 D1D1 F К Задачи L P N T Пусть ребро куба = 3,тогда Аналогично: Найдем объемы маленьких равных пирамид На ребрах АА 1 и СС 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 отмечены соответственно точки К и F такие, что АЕ=2А 1 К,CF=2C 1 F. Через точки В,К и F проведена плоскость, делящая куб на две части. Найдите отношения объема части, содержащей точку В 1, к объему всего куба.

Решение: В С А D В1В1 С1С1 А1А1 D1D1 F К Задачи L P N T Найдем объемы маленьких равных пирамид Они подобны пирамиде BNB 1 T k=3/1 На ребрах АА 1 и СС 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 отмечены соответственно точки К и F такие, что АЕ=2А 1 К,CF=2C 1 F. Через точки В,К и F проведена плоскость, делящая куб на две части. Найдите отношения объема части, содержащей точку В 1, к объему всего куба. => их объемы относятся как k 3 =27/1

Решение: В С А D В1В1 С1С1 А1А1 D1D1 F К Задачи L P N T На ребрах АА 1 и СС 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 отмечены соответственно точки К и F такие, что АЕ=2А 1 К,CF=2C 1 F. Через точки В,К и F проведена плоскость, делящая куб на две части. Найдите отношения объема части, содержащей точку В 1, к объему всего куба.

O В прямом круговом цилиндре, осевое сечение которого квадрат со стороной 12, хорда CD, равная, перпендикулярна диаметру AB. Найти площадь сечения цилиндра плоскостью CDA 1,если AA 1 - образующая цилиндра. Решение: O1O1O1O1 O А В С D А1А1А1А1 Сегмент круга АСD – ортогональная проекция сечения на плоскость (АDС) Сечением является фигура, ограниченная частью эллипса. Найдем площадь сегмента DС А 66 B1B1B1B1 Задачи

В прямом круговом цилиндре, осевое сечение которого квадрат со стороной 12, хорда CD, равная, перпендикулярна диаметру AB. Найти площадь сечения цилиндра плоскостью CDA 1,если AA 1 - образующая цилиндра. Решение: O1O1O1O1 O А В С D А1А1А1А1 К O DС А 66 Найдем - линейный угол двугранного угла B1B1B1B1 Задачи

В прямом круговом цилиндре, осевое сечение которого квадрат со стороной 12, хорда CD, равная, перпендикулярна диаметру AB. Найти площадь сечения цилиндра плоскостью CDA 1,если AA 1 - образующая цилиндра. Решение: O1O1O1O1 O А В С D А1А1А1А1 Косинус искомого угла найдем из треугольника А 1 АК К B1B1B1B1 O DС А А1А1А1А Задачи K K

В прямом круговом цилиндре, осевое сечение которого квадрат со стороной 12, хорда CD, равная, перпендикулярна диаметру AB. Найти площадь сечения цилиндра плоскостью CDA 1,если AA 1 - образующая цилиндра. А В С D А1А1А1А1 O1 O1 O1 O1 O Решение: К Решение второго случая (хорда пересекает диаметр между точками О и В) аналогично. B1B1B1B1 Задачи

Радиус основания конуса равен 5, а его высота равна 12. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 6. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения. А В S M O Решение: H Д.п.: OM найдем из треугольника SOH SO=12, найдем ОН А В H O Треугольник ОНВ – египетский Задачи

А В S M O Решение: H OM найдем из треугольника SOH SO=12 O H S M 12 4 Задачи Радиус основания конуса равен 5, а его высота равна 12. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 6. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

24 O А F B C D Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 7. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α. Решение: α β β касательная малого шара => перпендикулярна его радиусу, а значит и радиусу большого шара αβ, а значит тоже перпендикулярна радиусу малого и большого шара В задаче нам важны радиусы сечений FD, FC, AB Избавимся от лишнего в чертеже Назад Задачи

25 O А F B C D Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 7. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α. Решение: α β Стереометрический чертеж - радиусы малого шара - радиусы большого шара Задачи

26 O А F B C D Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 7. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α. Решение: α β Стереометрический чертеж Задачи

27 Источники: КИМ html Тренировочные работы