МОДУЛЬНЫЙ УРОК ПО ТЕМЕ: «ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ При изучении явлений окружающего мира и в практической деятельности нам приходится рассматривать величины различной природы: длину, площадь, объем, массу, температуру, время и другие. В зависимости от рассматриваемых условий одни из величин имеют постоянные числовые значения, у других эти значения переменные. Такие величины соответственно называются постоянными и переменными. Математика изучает зависимость между переменными в процессе их изменения. Например, при изменении радиуса круга меняется и его площадь, и мы рассматриваем вопрос об изменении площади круга в зависимости от изменения его радиуса. Математическим выражением взаимной связи реальных величин является идея функциональной зависимости. Понятие функции - важнейшее понятие математики.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. 1. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ. Определение. Функция вида у=кк+в, где к и в некоторые числа, называется линейной функцией. а) Если к=0, тогда у=в. Графиком является прямая, параллельная оси ох и отстоящая от нее на в единиц вверх, если в>0 ( рис.1 ), и вниз, если в 0 ( рис.1 ), и вниз, если в<0 ( РИС.2 ); если в=0, то прямая совпадает с осью ох ( РИС.3 ).

в в х у х х у у х У=в У=0 Рис.1 Рис.2 Рис.3

б) Если в=0, то у=кк. Линейная функция вида у=кк называется прямой пропорциональностью. Она определена на множестве R. Функция является монотонно возрастающей, если к>0, и монотонно убывающей, если к 0 точки графика принадлежат 1 и 3 координатным четвертям( РИС.4 ). При к 0, и монотонно убывающей, если к 0 точки графика принадлежат 1 и 3 координатным четвертям( РИС.4 ). При к<0 точки графика принадлежат 2 и 4 координатным четвертям( РИС.5 ).

У Х У Х Рис.4 Рис.5

в) Если к=0 и в=0, то у=кк+в. Функция определена на множестве всех действительных чисел. Функция имеет единственный нуль в точке х=-в/к. Функция является монотонно возрастающей при к>0 ( рис.6 ) и монотонно убывающей при к<0 ( РИС.7 ). Рис.6 Рис.7 х у у

Коэффициенты к и в в уравнении линейной функции у=кк+в имеют наглядное геометрическое толкование. Значение коэффициента в определяет отрезок, отсекаемый графиком линейной функции на оси ординат, а коэффициент к определяет тангенс угла α, образованного осью абсцисс и прямой; угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс. Если к>0, то образованный угол острый, если к 0, то образованный угол острый, если к<0, то угол тупой. х у х в к>0 к<0 к<0 Рис.8 Рис.9 К=tg у

Пример 1. Построить график линейной функции у=2 х-1. Так как графиком линейной функции является прямая, то для ее построения достаточно задать координаты двух точек. Составим таблицу значений. Х: 0; 2 у :1; 3 Построим на координатной плоскости хоу точки (0;-1) и (2;3) и проведем через них прямую. Учебный элемент 1 Цель: закрепить умение строить графики линейных функций. Задание самостоятельной работы (на 15 мин.) Построить графики функций. 1 вариант. 2 вариант. 1 вариант. 2 вариант. У=4 х, у=3 х, У=-2 х, у=-5 х, У=3 х+1, у=2 х-3, У=-1/2 х-3. у=-1/3 х

2. ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ. 2. ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ. Определение. Функция вида х=к/х, к=0, называется обратной пропорциональностью. Область определения этой функции совпадает с ее областью значений и представляет собой объединение двух промежутков: (-;0)U(0;). Если к>0, то функция монотонно убывает на всей области определения функции (рис.10). Если к 0, то функция монотонно убывает на всей области определения функции (рис.10). Если к<0, то функция монотонно возрастает на всей области определения (рис.11). График обратной пропорциональности называется гиперболой. График обратной пропорциональности называется гиперболой. у у х Рис.10Рис.11

Задание самостоятельной работы (на 10 мин.) Построить графики функций. 1 вариант. 2 вариант. у=2/х, у=4/х, у=-5/х, у=-3/х, у=4/х+1, у=2/х-2 Учебный элемент 2. Цель: закрепить навык построения графиков обратно-пропорциональной зависимости.Пример. Построить график функции у=3/х. Составим таблицу значений функции: Отметим на координатной плоскости точки Отметим на координатной плоскости точки с найденными координатами. Соединив ломаной отмеченные точки, получим две ветви графика функции у=3/х. две ветви графика функции у=3/х. х у-1/2-331 х у

3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. Функция вида у=ах +вх+с, где а,в,с-некоторые числа, а=0, называется квадратичной. а) Функция вида у=ах – простейшая квадратичная функция. Ее график называется параболой. Он проходит через начало координат, симметричен относительно оси ординат, ветви параболы направлены вверх, если а>0 (Рис.12) а) Функция вида у=ах – простейшая квадратичная функция. Ее график называется параболой. Он проходит через начало координат, симметричен относительно оси ординат, ветви параболы направлены вверх, если а>0 (Рис.12) или вниз, если а<0 (Рис.13). 2 Учебный элемент 3. Цель: закрепить навык построения графиков квадратичных функций. Задания самостоятельной работы (на 15 мин.) Построить графики. 1 вариант. 2 вариант. У=2 х, у=3 х, У=-3 х +1 у=-2 х - 2. у х у х Рис.12 Рис

4. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. Определение. Функция, заданная формулой у=а, а>0,а=1, называется показательной. Эта функция определена для любых действительных. График показательной функции – кривая, проходящая через точку (0;1). Он неограниченно приближается к оси абсцисс, но не достигает ее. График показательной функции – кривая, проходящая через точку (0;1). Он неограниченно приближается к оси абсцисс, но не достигает ее. При а>1 функция монотонно возрастает (Рис 14)., а при 0 1 функция монотонно возрастает (Рис 14)., а при 0<а<1 – монотонно убывает (Рис.15). х х у у х Рис.14 Рис.15

5. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Определение. Функция вида у=log x, где а>0, а=1, х>0, называется логарифмической. Графиком логарифмической функции является кривая, проходящая через точку (1;0). Он неограниченно приближается к оси ординат, но не достигает ее. Графиком логарифмической функции является кривая, проходящая через точку (1;0). Он неограниченно приближается к оси ординат, но не достигает ее. При а>1 функция монотонно возрастает (Рис.16), При а>1 функция монотонно возрастает (Рис.16), а при 0<a<1 – монотонно убывает (Рис.17). а при 0<a<1 – монотонно убывает (Рис.17). а у х у х Рис.16 Рис.17

Учебный элемент 4 Учебный элемент 4 Цель : закрепить навыки построения графиков показательной функции. показательной функции. Задание для самостоятельной работы (15 мин.). 1 вариант 2 вариант Построить графики У=3 у=5 У=(1/2) +1 у=(1/3) -2 У=2* 4 -2 У=3* 2 +1 Учебный элемент 5 Цель : закрепить навыки построения графиков логарифмических функций. Задание для самостоятельной работы (15 мин). 1 вариант 2 вариант Построить графики функций. у=log х у=log x+1 y=log x-2 у=2 log x y=3log x х х х х х х х х

6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. 1).Функция синус. Определение Числовая функция, заданная формулой у=sinx, называется синусом. Функция определена и непрерывна на множестве действительных чисел. Эта функция ограничена:IsinxІ1. Она периодическая, ее период Т=2 пк, кєz. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат. График называется синусоидой. 2).Функция косинус. Определение Числовая функция, заданная формулой у=cosx, называется косинусом. Функция определена и непрерывна при всех действительных значениях х. Эта функция ограничена:IcosxI1. Она периодическая, ее период Т=2 пк,кєZ. Функция четная, и ее график симметричен относительно оси ординат. График называется косинусоидой. у у х х

3)Функция тангенс. Определение Числовая функция, заданная формулой у=tgx, называется тангенсом. Функция определена при хП/2+Пк,кєZ. Ее областью значений является интервал (- ;+).Она периодическая, ее период Т=Пк, кєz. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат. В точках х=П/2+Пк, кєz функция терпит разрыв, т. е. она не является непрерывной. График функции называется тангенсоидой. 4).Функция котангенс Определение Числовая функция, заданная формулой у=ctgx, называется котангенсом. Функция определена при х Пк,Кєz, ее областью значений является интервал (- ;+). Она периодическая, ее период Т=Пк, кєz. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат. В точках х=Пк, кєz функция терпит разрыв, т. е. функция не является непрерывной. График функции называется котангенсоидой. у х у х п/2 п

6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ. 1)ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС а) Перенос вдоль оси ординат Для построения графика функции у=f(х)+с следует график функции у=f(х) сдвинуть вдоль оси Оу на с единиц в сторону, совпадающую со знаком с, или перенести параллельно ось Ох в сторону, противоположную знаку. Пример 1 Построить график у=sinx+2. Построение а) строим график функции у=sinx ; б) сдвигаем график функции у=sinx на 2 единицы вверх по оси Оу. у х y=sinx y=sinx+2

в) Перенос вдоль оси абсцисс в) Перенос вдоль оси абсцисс Для построения графика функции у=f(х+с) следует график функции у=f(х) сдвинуть вдоль оси Ох на с единиц в сторону, противоположную знаку с, или перенести параллельно ось Оу в сторону, совпадающую со знаком с. Пример 2 Построить график функции у=(х-1). Построение а) строим график функции у=х ; б) сдвигаем график у=х на единицу вправо вдоль оси Ох у х У=х 2 У=(х-1) 2

2) ОТРАЖЕНИЕ а) Построение графика функции у=f(-х) Для построения графика функции у=f(-х) следует построить график функции у=f(х) и отобразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции у=f(-х). Пример 3 Построить график функции у=2(-х). Построение а) строим график у=2 х; б) отобразим график у=2 х относительно оси Оу. у х х у У=2 х У=2(-х)

б) Построение графика функции у=-f(х). Для построения графика функции у=-f(х) следует построить график у=f(х) и отобразить его относительно оси абсцисс. Пример 4 Построить график функции у=-1/х. Построение а) строим график функции у=1/х; б) отобразим график функции относительно оси Ох. у х у х У=1/х У=-1/х

3). ДЕФОРМАЦИЯ а). Сжатие графика функции вдоль оси ординат у=а f(х); 0<a<1 Для построения графика функции у=а f(х) следует построить график функции у=of(х) и уменьшить его ординаты в 1/а раз при 0<a<1. Пример 5 Построить график функции у=1/2sinx. Построение а) построим график функции у=sinx ; б) уменьшим его ординаты в 2 раза. х у х У=sinx у=1/2sinx у

б). Растяжение графика вдоль оси ординат у=а f(х); а>0 Для построения графика функции у=of(х) следует построить график функции у=f(х) и увеличить его ординаты в а раз при а>1. Пример 6 Построить график функции у=2sinx. Построение а) построим график функции у=sinх; б) увеличим его ординаты в 2 раза. у х в) Растяжение графика вдоль оси абсцисс у=f(ах); 0<a<1. Для построения графика функции у=f(ах) следует построить график функции у=f(х) и увеличить его абсциссы в 1/а раз при 0<a<1. Пример 7 Построить график функции у=sin(1/2 х). Построение а) построим график функции у=sinх; б) увеличим его абсциссы в 2 раза. У=sinх У=2sinх у х У=sinх У=sin(1/2 х)

г) Сжатие графика вдоль оси абсцисс у=f(ах); а>1 Для построения графика функции у=f(ах) следует построить график функции у=f(х) и уменьшить его абсциссы в а раз при а>1. у Пример 7 Построить график функции у=sin2 х. Построение а) построим график функции у=sinx; б) уменьшим абсциссы в 2 раза. у х У=sinх У=sin2 х Учебный элемент 6 Цель: закрепить навык построения смещенных графиков функций. Задания самостоятельной работы (на 15 мин) Построить графики функций 1 вариант 2 вариант У=2sin(х+п/2)-1 у=3cos(х-п/2)+1 У=1/2cos(2 х) у=1/3sin(2 х) У=3sinх+2 у=2cosх-2