Признак перпендикулярности двух плоскостей Выполнила ученица 10 класса Гаспринская Лена

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром.Если один из этих двугранных углов равен φ, то другие три угла равны соответственно 180º- φ, φ и 180º- φ. В частности если один из углов прямой (φ=90º), то и остальные три угла прямые. Если φ – тот из четырех углов, который не превосходит каждого из остальных, то говорят, что угол между пересекающимися плоскостями равен φ. Очевидно, 0º<φ 90º.

Определение Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярным и (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90 0.

Примером взаимно перпендикулярных плоскостей служат плоскости стены и пола комнаты. Ясно, что все четыре двугранных угла, образованные взаимно перпендикулярными плоскостями, прямые. Рассмотрим признак перпендикулярности двух плоскостей.

Теорема Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Доказательство Рассмотрим плоскости α и β такие, что плоскость α проходит через прямую АВ,перпендикулярную к плоскости β и пересекающуюся с ней в точке А. Докажем, что α β. Плоскости α и β пересекаются по некоторой прямой АС, причем АВ АС, так как по условию АВ β, т. е. прямая АВ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости β.

Проведем в плоскости β прямую АD, перпендикулярную прямой АС. Тогда угол BAD - линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей α и β. Но BAD=90 0 (так как АВ β). Следовательно, угол между плоскостями α и β равен 90 0, т. е. α β. Теорема доказана.

Следствие Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.