Решение тригонометрических уравнений и неравенств Решение тригонометрических уравнений и неравенств Автор: Семенова Елена Юрьевна

Содержание Содержание Простейшие тригонометрические уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Простейшие тригонометрические неравенства Простейшие тригонометрические неравенства Простейшие тригонометрические неравенства Простейшие тригонометрические неравенства

Простейшие тригонометрические уравнения Определение арксинуса Определение арксинуса Определение арксинуса Определение арксинуса Уравнение sin t = a Уравнение sin t = a Уравнение sin t = a Уравнение sin t = a Определение арккосинуса Определение арккосинуса Определение арккосинуса Определение арккосинуса Уравнение cos t = a Уравнение cos t = a Уравнение cos t = a Уравнение cos t = a Определение арктангенса Определение арктангенса Определение арктангенса Определение арктангенса Уравнение tg t = a Уравнение tg t = a Уравнение tg t = a Уравнение tg t = a Определение арккотангенса Определение арккотангенса Определение арккотангенса Определение арккотангенса Уравнение ctg t = a Уравнение ctg t = a Уравнение ctg t = a Уравнение ctg t = a Примеры Примеры Примеры

Определение арксинуса Арксинусом числа а называется такой угол из промежутка [ 0,5π; 0,5π], синус которого равен а, где l а l 1. Арксинусом числа а называется такой угол из промежутка [ 0,5π; 0,5π], синус которого равен а, где l l l lаl 1. arcsin a = t, sin t = a где t [ 0,5π; 0,5π] а [ 1; 1] arcsin a = t, sin t = a где t [ 0,5π; 0,5π] а [ 1; 1] sin(arcsin a ) = a, а [ 1; 1] sin(arcsin a) = a, а [ 1; 1] arcsin(sin t ) = t, t [ 0,5π; 0,5π] arcsin(sin t) = t, t [ 0,5π; 0,5π]

Уравнение sin t = а 1 1 x x у у 0 0 аа arcsin a π arcsin a 1 1 tt π tπ tπ tπ t π tπ tπ tπ t

t = arcsin a + 2πn, n Z t = π arcsin a + 2πn, n Z t = arcsin a + 2πn, n Z t = π arcsin a + 2πn, n Z t = (1) n arcsin a + πn, n Z Уравнение sin t = а C учетом периодичности: Объединив в одну формулу: Пример

1 частный случай 0 0 x x 0 0 π π t = πn, n Z sin t = 0 y y

2 частный случай 1 1 x x sin t = t = + 2πn, n Z π π 2 2 y y π π 2 2

3 частный случай x x y y t = + 2πn, n Z π π π π 2 2 sin t = 1 sin t =

Определение арккосинуса Арккосинусом числа а называется такой угол из промежутка [ 0; π], косинус которого равен а, где l а l 1. Арккосинусом числа а называется такой угол из промежутка [ 0; π], косинус которого равен а, где l l l lаl 1. arccos a = t, cos t = a где t [ 0; π] а [ 1; 1] arccos a = t, cos t = a где t [ 0; π] а [ 1; 1] cos(arccos a ) = a, a [-1; 1] arccos(cos t ) = t, t [ 0; π]

Уравнение co s t = а 1 1 x x у у 0 0 а arccos a arccos a arccos a 1 1 t t

t = arccos a + 2πn, n Z t = arccos a + 2πn, n Z t = arccos a + 2πn, n Z t = arccos a + 2πn, n Z t = arccos a + 2πn, n Z t = arccos a + 2πn, n Z Уравнение cos t = а C учетом периодичности: Объединив в одну формулу: t = arccos a + 2πn, n Z + + Пример

1 частный случай 1 1 x x cos t = 0 y y π π 2 2 π π 2 2 t = + πn, n Z π π 2 2

2 частный случай 0 0 x x cos t = t = 2πn, n Z y y

3 частный случай 1 1 x x 0 0 π π 1 1 y y 1 1 t = π + 2πn, n Z 1 1 cos t = 1

Определение арктангенса Арктангенсом числа а называется такой угол из промежутка ( 0,5π; 0,5π), тангенс которого равен а. Арктангенсом числа а называется такой угол из промежутка ( 0,5π; 0,5π), тангенс которого равен а. arctg a = t, tg t = a где t ( 0,5π; 0,5π) arctg a = t, tg t = a где t ( 0,5π; 0,5π) tg(arctg a ) = a tg(arctg a) = a arctg(tg t ) = t, t ( 0,5π; 0,5π) arctg(tg t) = t, t ( 0,5π; 0,5π) arctg ( a ) = arctg a arctg (a) = arctg a

arctg a Уравнение tg t = а 1 1 x x у у 0 tt Линия тангенсов а t = arctg a + πn, n Z Пример

Определение арккотангенса Арккотангенсом числа а называется такой угол из промежутка (0; π), котангенс которого равен а. Арккотангенсом числа а называется такой угол из промежутка (0; π), котангенс которого равен а. arcсtg a = t, сtg t = a где t (0; π) arcсtg a = t, сtg t = a где t (0; π) сtg(arсctg a ) = a сtg(arсctg a) = a arcсtg(сtg t ) = t, t (0; π) arcсtg(сtg t) = t, t (0; π) arсctg ( a ) = π arcсtg a arсctg (a) = π arcсtg a

arcсtg a Уравнение с tg t = а 1 1 x x у у 0 0 tt Линия котангенсов аа t = arcсtg a + πn, n Z Пример

Примеры 1. Пример 1. sin x = Пример 1. sin x = Пример 1. Пример 2. Пример 2. cos x = Пример 2. Пример 3. Пример 3. tg x = 1 Пример 3. Пример 4. Пример 4. ctg x = Пример 4. Пример 1. Пример 1. sin x = Пример 1. sin x = Пример 1. Пример 2. Пример 2. cos x = Пример 2. Пример 3. Пример 3. tg x = 1 Пример 3. Пример 4. Пример 4. ctg x = Пример

Пример 1 sin x = Пример 1 sin x = x = (1) n arcsin + πn, n Z x = (1) n+1 arcsin + πn, n Z x = (1) n+1 + πn, n Z π π 3 3 Ответ: (1) n+1 + πn, n Z π π 3 3

Пример 2 cos x = x = arccos + 2πn, n Z x = + 2πn, n Z π π Ответ: + 2πn, n Z π π

Пример 3 tg x = 1 x = arctg ( 1) + πn, n Z π π 4 4 x = + πn, n Z x = arctg 1 + πn, n Z Ответ: + πn, n Z π π 4 4

Пример 4 сtg x = π π 6 6 x = + πn, n Z Ответ: + πn, n Z π π x = arсctg + πn, n Z 3 3

Простейшие тригонометрические неравенства Неравенство sin x a Неравенство sin x a Неравенство sin x a Неравенство sin x a Неравенство cos x < a Неравенство cos x < a Неравенство cos x < a Неравенство cos x < a Неравенство tg x > a Неравенство tg x > a Неравенство tg x > a Неравенство tg x > a Неравенство ctg x a Неравенство ctg x a Неравенство ctg x a Неравенство ctg x a Примеры Примеры Примеры

-2π 0 0 2π2π 2π2π 1 1 Неравенство sin x a y = а y = sin x y y x x a a arcsin a -π-arcsin a π-arcsin a 2π+arcsin a -2π+arcsin a sin x a π π -π-π -π-π

Неравенство sin x a arcsin a + 2πn x π arcsin a + + 2πn, n Z arcsin a + 2πn x π arcsin a + + 2πn, n Z arcsin a x π arcsin a arcsin a x π arcsin a C учетом периодичности: C учетом периодичности: Ответ: [arcsin a + 2πn; π arcsin a + 2πn], n Z Ответ: [arcsin a + 2πn; π arcsin a + 2πn], n Z

Неравенство cos x < a y = а y = cos x y y x x 0 0 a a arccos a 2πarccos a 2π +arccos a 2πarccos a cos x < a π π -π-π -π-π 2π2π 2π2π -2π

Неравенство cos x < a arccos a + 2πn < x < 2π arccos a + + 2πn, n Z arccos a + 2πn < x < 2π arccos a + + 2πn, n Z arccos a < x < 2π arccos a arccos a < x < 2π arccos a C учетом периодичности: C учетом периодичности: Ответ: (arccos a + 2πn; 2π arccos a + 2πn), n Z Ответ: (arccos a + 2πn; 2π arccos a + 2πn), n Z

2π2π 2π2π Неравенство tg x > a y = tg x y y x x a a y = а 0 0 π π 2 2 π π π3π 3π3π 2 2 π π -2π 3π3π 3π3π π-π -π-π arctg a π+arctg a 2π+arctg a -π+arctg a -2π+arctg a -π+arctg a tg x > a

Неравенство tg x > a C учетом периодичности: C учетом периодичности: Ответ: Ответ: arctg a < x < π π 2 2 arctg a + πn < x < + πn, n Z π π 2 2 (arctg a + πn; + πn), n Z π π 2 2

Неравенство c tg x a y y a a ctg x a x x 0 0 y = а y = ctg x 2π2π 2π2π π π -π-π -π-π -2π arcctg a π+arcctg a -2π+arcctg a -π+arcctg a 2π+arcctg a π -π-π -π-π π π 2π2π 2π2π

Неравенство c tg x a C учетом периодичности: C учетом периодичности: Ответ: Ответ: arcctg a x < π arcctg a + πn < x < π + πn, n Z [arctg a + πn; π+ πn), n Z

Примеры Пример 1. Пример 1. sin x Пример 1. sin x Пример 1. Пример 2. Пример 2. sin x < Пример 2. sin x < Пример 2. Пример 3. Пример 3. cos x Пример 3. cos x Пример 3. Пример 4. Пример 4. cos x > Пример

- - 3π3π 3π3π 2 2 3π3π 3π3π 2 2 π π y = 0,5 y = sin x y y x x 0, Пример 1: sin x Пример 1: sin x π π 6 6 5π5π 5π5π π 6 6 7π7π 7π7π π π π 2 2

C учетом периодичности: C учетом периодичности: Пример 1: sin x x x π π 6 6 5π5π 5π5π 6 6 π π πn x + 2πn, n Z 5π5π 5π5π 6 6 Ответ: Ответ: π π πn; + 2πn, n Z 5π5π 5π5π 6 6

-2π -π-π -π-π 2π2π 2π2π π π Пример 2: sin x < Пример 2: sin x < y y x x π π π2π 2π2π π4π 4π4π 3 3 7π7π 7π7π 3 3 7π7π 7π7π

C учетом периодичности: C учетом периодичности: < x < 2π2π 2π2π 3 3 π π 3 3 π π πn < x < + 2πn, n Z 2π2π 2π2π 3 3 Ответ: Ответ: Пример 2: sin x < π π πn; + 2πn, n Z 2π2π 2π2π 3 3

Пример 3: cos x. y = 0,5 y = cos x y y x x 0 0 0,50,5 0,50,5 π π -π-π -π-π 2π2π 2π2π -2π cos x π π π π 3 3 5π5π 5π5π π5π 5π5π π7π 7π7π 3 3 7π7π 7π7π 3 3

C учетом периодичности: C учетом периодичности: x x 5π5π 5π5π 3 3 π π 3 3 π π πn x + 2πn, n Z 5π5π 5π5π 3 3 Ответ: Ответ: Пример 3: cos x π π πn; + 2πn, n Z 5π5π 5π5π 3 3

Пример 4: cos x >. y = cos x x x y = π π 4 4 π π π π -π-π -π-π 7π7π 7π7π π7π 7π7π π9π 9π9π 4 4 9π9π 9π9π 4 4 y y

C учетом периодичности: C учетом периодичности: Ответ: Ответ: Пример 4: cos x >. < x < π π 4 4 π π 4 4 π π πn < x < + 2πn, n Z π π π π πn; + 2πn, n Z π π 4 4