Функции y = tgx и y = ctgx, их свойства и графики

Определение Тангенс определён для всех углов α, кроме тех, для которых косинус равен нулю Тангенсом угла α называют число, равное отношению sin α к cos α, обозначают tg α, т. е. Для любого угла α π/2 + πk, kЄZ существует, и притом единственный tg α

x y Ось тангенсов не существует 1 180° - 45° 120° х = 1 Тангенс может принимать любые значения от – до + – +

Определение Котангенс определён для всех углов α, кроме тех, для которых синус равен нулю Котангенсом угла α называют число, равное отношению cos α к sin α, обозначают сtg α, т. е. Для любого угла α πk, kЄZ существует, и притом единственный сtg α

X Y Ось котангенсов Не существует у = 1 120° 180°0° Котангенс может принимать любые значения от – до + – + 45°

х у=tg x 0 ±π 6 ±π 4 ±π 3 ±π 2 y x 1 -1 у = tg x 0 ± 0,6 ± 1 ±1,7 Не существ. Построение графика функции y = tg x, если х Є [ ̶ π 2; π 2 ]

Построение графика функции y = tg x. y x 1 -1 у=tg x

Свойства функции y=tg x. y x 1 -1 у=tg x Нули функции:tg х = 0 при х = πn, nєZ у>0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn,nєZ. у<0 при хє (-π/2; 0) и при сдвиге на πn, nєZ.

y x 1 -1 Свойства функции y=tg x. у=tg x При х = π 2+πn, nєZ - функция у=tgx не определена. Точки х = π 2+πn, nєZ – точки разрыва функции. Асимптоты

Запишите все свойства функции y = tg x. 1. Область определения: 2. Множество значений функции: 3. Периодическая, Т= 4. Нечётная функция 5. Возрастает на всей области определения. 6. Нули функции у = 0 при х = 7. у > 0 при хє и при сдвиге на 8. у < 0 при хє и при сдвиге на 9. При х = - функция у = tgx не определена. Имеет точки разрыва графика

у х y = tgx y = tgx + a y = tgx – b

у х y = tgx y = tg(x – a)

у х y = tgx y = ItgxI

Функция y = ctg x 1. Область определения данной функции – все действительные числа, кроме чисел х= πk, k Z. 2. Область значений функции – все действительные числа. 3. Функция убывает на интервалах 4. Функция нечетная, график ее симметричен относительно начала координат. 5. Функция периодическая, ее наименьший положительный период равен π. - 1 у х π0-π-π - у=ctg x

Задача 1. Найти все корни уравнения tgx = 1, принадлежащих промежутку –π х 3π 2. Решение. y x 1 -1 у=tg x у = 1 1. Построим графики функций у=tgx и у=1 2. х 1 = 3π4 х 2 = π4 х 3 = 5π4 х 2 х 2 х 1 х 1 х 3 х 3 π 3π/23π/2 0 π

Задача 2. Найти все решения неравенства tgx < 1, принадлежащие промежутку –π х 2π. 1. Построим графики функций у = tgx и у = 1 y x 1 -1 у=tg x у = 1 () 0 2. х(π/2; π4); π/4 3π/43π/47π/47π/4 ////// //////// х(π/2; 3π4); х(3π/2; 7π4)