МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ Тема урока: «Понимание и умение правильно применять принцип математической индукции, является хорошим критерием логической зрелости, которая совершенно необходима математику» А.Н. Колмогоров

В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений - это рассуждение от общего к частному, то есть рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом - частный результат. Дедуктивный метод рассуждений

В математике мы применяем дедуктивный метод, проводя рассуждения такого типа: Данная фигура - прямоугольник, а у каждого прямоугольника диагонали равны, следовательно, и у данного прямоугольника диагонали равны. Дедуктивный метод рассуждений

Полная индукция По своему первоначальному смыслу слово «индукция» применяется к рассужде­ниям, при помощи которых получают общие выводы, опираясь на ряд частных утверждений. Простейшим методом рассуждений такого рода является полная индукция. Вот пример подобного рассуждения.

Пусть требуется установить, что каждое чётное натуральное число n в пределах 4 n 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. 4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=11+7; 20=13+7. Полная индукция

Иногда общий результат удаётся предугадать после рассмотрения не всех, а дос­таточно большого числа частных случаев (так называемая неполная индукция) Результат, полученный неполной индукцией, остаётся, однако, лишь гипотезой, пока он не доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. Неполная индукция

,, Знаменитый математик XVII в. П.Ферма проверив, что числа простые, сделал по индукции предположение, что для всех n=1,2,3,… числа вида простые.

В XVIII веке Л.Эйлер нашел, что при n=5 составное число

P(x)=x 2 +x+41 Найдём: P(1)=43, P(2)=47, P(3)=53, P(4)=61, P(5)=71 – простые. Найдем: P(0)=41, P(-1)=41, P(-2)=43, P(-3)=47, P(-4)=53 - простые Гипотеза: значение трёхчлена P(x) является простым числом при любом целом значении x. Гипотеза ошибочна, так как P(41)= =41* 43. Ошибки в индуктивных рассуждениях

Задача 1 Перед нами последовательность нечетных чисел натурального ряда. 1,3,5,7,9,11,13… Чему равна сумма n первых членов этой последовательности?

1=1=1 2 ; 1+3=4=2 2 ; 1+3+5=9=3 2 ; =16=4 2 ; =25=5 2. После рассмотрения этих немногих частных случаев напрашивается следующий общий вывод: (2n-1)=n 2, то есть сумма n первых последовательных нечётных чисел равна n 2.

Принцип математической индукции Утверждение P(n) справедливо для всякого натурального n, если: 1. Оно справедливо для n=1 или для наименьшего из натуральных чисел при котором закономерность имеет смысл. 2. Из справедливости утверждения, для какого либо произвольного натурального n=k, следует его справедливость для n=k+1.

Алгоритм доказательства методом математической индукции 1)доказать это утверждение для n=1 2)предположить его справедливость при n=k 3)доказать, что оно верно при n=k+1

Задача 2 Доказать, что при n 2.

Задача 3 Каждый человек в мире пожал какое-то количество рук. Докажите, что число людей пожавших нечетное число рук – четно.