Виды тригонометрических уравнений Виды тригонометрических уравнений Шестакова Марина 10 класс

Так какие же они эти уравнения?

Решение простейших тригонометрических уравнений Решение простейших тригонометрических уравнений

Уравнение cos t = a. Если lаl1, то уравнение не имеет корней. Если lаl1, то t = ±arccos a + 2πn, n Є Z. Частные случаи: cos t = 0, t = π/2+ πn, n Є Z. cos t = 1, t = 2πn, n Є Z. cos t = -1, t = π +2πn, n Є Z. arccos (-a) = π – arccos a cos (arccos a) = a

Уравнение sin t = a. Если lаl1, то уравнение не имеет решений. Если lаl1, то t = (-1)arcsin a + πn, n Є Z. Частные случаи: sin t = 0, t = πn, n Є Z. sin t = 1, t = π/2 + 2πn, n Є Z. sin t = -1, t = -π/2 + 2πn, n Є Z. arcsin (- a) = - arcsin a. arccos a + arcsin a = π/2

Уравнение tg t = a t = arctg a + πn, n Є Z. arctg (-a) = - arctg a. tg (arctg a) = a

Уравнение ctg t = a. t = arcctg a + πn, n Є Z. arcctg (-a) = - arcctg a. arctg a + arcctg a = π/ 2

Типы тригонометрических уравнений Типы тригонометрических уравнений

Уравнения приводимые к алгебраическим

Уравнение sin²x + sin x -2 = 0 Это уравнение является квадратным относительно sin x. Обозначив sin x = y, получим уравнение у²+ у – 2 = 0. Его корни у 1 = 1, у 2 = -2. Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению простейших уравнений sin x = 1 и sin x = - 2. Уравнение sin x = 1 имеет корни x = π/ 2 + πn, n Є Z. Уравнение sin x = - 2 не имеет корней.

Уравнение 2cos²x – 5 sin x + 1 = 0. Заменяя cos²x на 1 - sin²x, получаем: 2 (1 - sin²x) – 5 sin x + 1 = 0 или 2 sin²x – 5 sin x - 3 = 0. Обозначая sin x = y, получаем 2y²+ 5y – 3 = 0, откуда y 1 = - 3, y 2 = ½. 1) sin x = - 3 – уравнение не имеет корней, так как l- 3l 1. 2) sin x = ½, x = (- 1) arcsin ½ + πn = (-1) π/ 6 + πn, n Є Z.

Уравнения, являющиеся равенством двух одноименных тригонометрических функций.

Уравнение вида sin f(x) = sin φ(x) равносильно объединению уравнений: f(x) = φ(x) + 2πk, k Є Z f(x) = π – φ(x) + 2πn, n Є Z

Уравнение вида cos f(x) = cos φ(x) Равносильно объединению уравнений: f(x) = φ(x) +2πn, n Є Z f(x) = - φ(x) + 2πm, m Є Z

Уравнение вида tg f(x) = tg φ(x) равносильно системе: f(x) = φ(x) +πk; φ(x) π/ 2 + πn ( или f(x) π/ 2 + πm), k, n, m Є Z

Однородные уравнения

2 cos x – 3 sin x = 0 Это однородное уравнение первой степени. Обе части уравнения нужно разделить на cos x = 0. Уравнение cos x = 0 не содержит корней данного уравнения. Действительно, если cos x 0 = 0, то 2 cos x sin x 0 = 0, sin x 0 = 0, но это не возможно, так как cos²x 0 + sin² x 0 = 1. Следовательно, имеем равносильное уравнение tg x = 2/3; x = arctg 2/3 + πm, m Є Z.

3 sin²x – 4 sin x cos x + cos²x = 0 Это уравнение второй степени. Значения х, при которых cos x = 0, не являются решениями этого уравнения, так как если cos x = 0, то должно выполнятся равенство 3sin²x = 0, а косинус и синус не могут быть одновременно равными нулю. Поэтому можно обе части уравнения разделить на cos²x (или на sin²x) и при этом получить уравнение, равносильное данному уравнению 3 tg²x – 4 tg x + 1 = 0, откуда tg x = 1 или tg x = 1/3. Следовательно, x =π/ 4 + πn, n Є Z, или x = arctg 1/3 + πn, n Є Z.

Если уравнение может быть приведено к виду, когда его левая часть однородное выражение второй степени относительно тригонометрических функций, а в правой есть число, отличное от нуля, то такое уравнение можно привести к однородному уравнению второй степени относительно cos f(x) и sin f(X), представив число в правой части a = a(sin²f(x) + cos²f(x)).

Уравнения, решающиеся разложением на множители.

При решении этого типа уравнения необходимо пользоваться известным правилом: произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом имеют смысл. 1)cos x(3tg x-5)=0 cos x = 0, или 3 tg x = 5 cos x 0, x = arctg 5/3 + πm, m Є Z. 2) (2 cos x – 1) sin x = 0, sin x = 0 или cos x = ½ x = πk, k Є Z; sin x 0. x= π/3 + 2πm, m Є Z.

Уравнения вида a cos x + b sin x = c(a·b·c 0) Один из способов решения такого уравнения состоит в том, что левую часть уравнения можно преобразовать по формуле: a cos x + b sin x = a²+ b² cos (x – φ), где cos φ = a/ a²+ b² sin φ = b/ a²+b²

Уравнения, решающиеся оценкой значения левой и правой части. 1)2 cos 3x + 4 sin x/2 = 7. Уравнение корней не имеет. 2)3 cos 3x + cos x = 4. Так как cos x 1, 3cos 3x 3, то cos x + 3 cos 3x 4 и равенство возможно лишь при cos x = 1, cos 3x = 1. Корни первого уравнения определяются формулой х = 2πκ, к Є Z. Подставим эти значения х во второе уравнение: cos 3x = cos (6 πκ) = 1 (верно). Значит, это корни данного уравнения.