Рекурсія

Програми можуть містити виклик однієї або декількох підпрограм. Підпрограми можуть, в свою чергу, викликати інші підпрограми. А чи може підпрограма викликати саму себе?

Алгоритмічна конструкція, в якій підпрограма викликає сама себе, називається рекурсією. Рекурсивні алгоритми зазвичай виникають там, де вихідну задачу можна звести до такої ж самої, але з іншими аргументами або в інших обставинах.

В житті ми маємо такі випадки, коли будь-яке поняття визначається з використанням того ж самого поняття (рекурсія): цукерка "Ану-ка отними" має на фантику зображення цукерки, яка має зображення цукерки і так далі; всім відома російська приказка "У попа была собака…"; луна в горах.

Рекурсія дає змогу записувати циклічні алгоритми без використання команд циклу. Розглянемо приклади запису рекурсивних алгоритмів.

Обчислення факторіалу числа: n!=1*2*3*…*n 1)Звичайний спосіб: Fact:=1; for i:=1 to n do Fact=Fact * і ; 2) Рекурсивний спосіб: n!= 1, при n=0 (0!=1,1!=1 за визначенням) ; (n-1)!* n, при n>0. Текст функції: Function Fact( n : integer) : integer; begin If n=0 then Fact:=1 else Fact:= Fact(n-1) * n end;

cтек Рекурсивний виклик функції oбчислення n! локальні дані

cтек Виконання відкладених викликів функції

Виконання компютером відкладених викликів функції можливе завдяки використанню стекa. Стек – модель оперативної памяті, де дані запамятовуються і зберігаються за принципом "перший прийшов – останнім вийшов" (аналогом стеку є ріжок для набоїв у автоматі).

Обчислення суми чисел від a до b з кроком 1 1)Звичайний спосіб: s:=0; for i:=a to b do s:=s+і; 2)Рекурсивний спосіб: Function Summa (a, b:integer):integer; begin If a=b then Summa :=a else Summa := Summa (a, b-1)+b еnd;

Обчислення степеня з натуральним показником х к 1)Звичайний спосіб: р:=1; for i:=1 to к do р=р*х ; 2)Рекурсивний спосіб: 1, при к = 0; Х к= х к-1, при к > 0. Function Power( k : integer; x : real) : integer; begin If k=0 then Power:=1 else Power:=Power(k-1, x) * х end;

Обчислення чисел Фібоначчі F k = F k-1 + F k-2, F 1 = F 2 =1 1)Звичайний спосіб: x:=1; z:=1; {-перші два числа Фібоначчі } for i:=1 to k do begin y:=x; x:=z; z:=x+y; write (z:5) end; 2)Рекурсивний спосіб: Function Fib (k:integer):integer; begin If k<3 then Fib :=1 else Fib := Fib (k-1)+Fib(k-2) end;

Переваги використання рекурсії: рекурсивний алгоритм коротший і наглядніший. Недоліки: обчислення рекурсивного алгоритму на компютері потребує більше часу (за рахунок повторних звертань до підпрограми) і памяті (за рахунок дублювання локальних змінних підпрограми).

Обчислення 15-го числа Фібоначчі F k = F k-1 + F k-2 (рекурсивний спосіб) F 15 F 14 F 13 F 13 F 12 F 12 F 11 F 12 F 11 F 13 F 12 F 11 F 10 F 10 F 9 F 11 F F 8 F 7 F 9 F F 7 F 6

Увага! При обчисленні 31-го числа Фібоначчі рекурсивним способом компютер виконає >1 млн. операцій додавання, 45-го > 1 млрд.!!! (що може призвести до переповнення стеку). Для порівняння: обчислення за звичайним способом потребує 31 та 45 операцій додавання відповідно!

Задача про Ханойські вежі. Потрібно перекласти диски з осі А на вісь С, користуючись віссю В так, щоб більший диск не класти на менший. За один раз можна перекладати один диск. А ВС

Програма procedure Xanoj(n : integer; A,B,C: char); begin If n=1 then writeln(перекласти диск з осі, A, на вісь, C) else begin Xanoj(n-1, A, B, C); writeln(перекласти диск з осі, A, на вісь, C) Xanoj(n-1, B, C, A); end end; {кінець процедури} Var n: integer ; begin writeln(задайте кількість дисків); readln(n); Xanoj(n,A,B,C) end. {кінець головної програми}

A B c Виконання рекурсивної процедури для перекладання трьох дисків

Дякуємо за увагу!