Готовимся к ЕГЭ. Задача С2. Расстояние между скрещивающимися прямыми. МБОУ г. Мурманска гимназия 3 Шахова Татьяна Александровна

Расстояние между скрещивающимися прямыми есть длина их общего перпендикуляра (отрезка с концами на этих прямых и перпендикулярного каждой из них). Поэтапно вычислительный метод (построение общего перпендикуляра). b ρ Пример а

Построить плоскость, содержащую одну из прямых и параллельную второй. Тогда искомое расстояние будет равно расстоянию от какой- нибудь точки второй прямой до построенной плоскости (на этом этапе можно использовать координатный метод) Метод параллельных прямой и плоскости. Пример b ρ а α А В shah.ucoz.ru/load/egeh/egeh_s2/k oordinatnyj_metod_kljuchevye_za dachi/

Построить плоскость, перпендикулярную одной из данных прямых, и построить на этой плоскости ортогональную проекцию другой прямой. Метод ортогонального проектирования. Пример b ρ а α А В Н С СВ – проекция b

Если AB и CD – скрещивающиеся ребра треугольной пирамиды ABCD, d – расстояние между ними, α – угол между AB и CD, V – объем пирамиды ABCD, то Опорная задача. Пример B C А D Методы нахождения угла между прямыми смотри по адресу:

Из системы определить координаты, затем найти Пусть, тогда выполнено условие: Определить координаты направляющих векторов и. Векторно - координатный метод. Пример B C А D Замечание: для записи координат точек М и К воспользоваться формулой: М К Если АМ:МВ=k, то

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найти расстояние между прямыми BD и SA. Решение: Д. п.: ОН можно найти из треугольника АОS методом площадей. O А В С D S H OH – общий перпендикуляр к прямым BD и AS Назад

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найти расстояние между прямыми BD и SA. Решение: (половина диагонали единичного квадрата ) O А В С D S H Назад

В правильной треугольной призме ABCA 1 C 1 B 1, все рёбра которой равны 1, найти расстояние между прямыми АA 1 и B 1 C. Решение: B C C1C1 B1B1 H А А1А1 Д. п.: ( перпендикуляр, проведенный к пересечению перпендикулярных плоскостей ) Из треугольника АСН Назад

В правильной усечённой четырехугольной пирамиде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со сторонами оснований равными 4 и 8 и высотой равной 6 найти расстояние между диагональю и BD 1 диагональю большего основания AC. Решение: B А С D А1А1 B1B1 C1C1 D1D1 O O1O1 Д. п.: H (является своей проекцией на (BB 1 D 1 )) Рассмотрим равнобедренную трапецию ВВ 1 D 1 D Назад

В правильной усечённой четырехугольной пирамиде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со сторонами оснований равными 4 и 8 и высотой равной 6 найти расстояние между диагональю и BD 1 диагональю большего основания AC. Решение: BD B1B1 D1D1 O Назад K H В треугольнике ВD 1 K Треугольники BD 1 K и ВОН подобны по двум углам В треугольнике ВHO

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти расстояние между диагональю куба BD 1 и диагональю грани AB 1. Решение: Рассмотрим пирамиду D 1 AB 1 B. За основание примем АВ 1 В, тогда высота – ВС. (диагональ единичного квадрата) А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В (диагональ единичного куба) Найдем угол между прямыми АВ 1 и В 1 D 1. Можно использовать векторно - координатный метод. Назад

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти расстояние между диагональю куба BD 1 и диагональю грани AB 1. Решение: Введем прямоугольную систему координат А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В X Z Y Тогда: Назад

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти расстояние между диагональю куба BD 1 и диагональю грани AB 1. Решение: А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В Назад

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти расстояние между диагональю куба АВ 1 и диагональю грани A 1 С 1. Решение: А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В Введем прямоугольную систему координат Тогда: Пусть М К Тогда: X Z Y Назад и

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти расстояние между диагональю куба АВ 1 и диагональю грани A 1 С 1. Решение: А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В X Z Y М К Назад

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти расстояние между диагональю куба АВ 1 и диагональю грани A 1 С 1. Решение: Назад

2) В правильной четырехугольной пирамиде MABCD, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми MA и BC Тренировочные упражнения Решение 3) Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна, высота пирамиды DO=6. Точки A 1, C 1 – середины рёбер AD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми BA 1 и AC 1. Решение 1)Найти расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба, длина ребра которого равна 1.

Решение: Назад Задачи 1)Найти расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба, длина ребра которого равна 1. А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В O O1O1 Н Построим ортогональную проекцию прямой АВ 1 на плоскость (ВВ 1 D 1 ) Д. п.: Найдем О 1 Н найдем из треугольника В 1 ОО 1

В единичном кубе ABCDA B C D найти расстояние от точки С до плоскости АВ С. (половина диагонали единичного квадрата) (= ребру куба) С В D D1D1 В1В1 O O1O1 С А1А1 Решение: А Ответ: Задачи Н

Решение: А D В С М О Н Задачи 2) В правильной четырехугольной пирамиде MABCD, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми MA и BC. Рассмотрим пирамиду МАВС. За основание примем АСВ, тогда высота – МО. В треугольнике АОМ

Решение: А D В С М О Н 2) В правильной четырехугольной пирамиде MABCD, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми MA и BC. (треугольник АMD –равносторонний) Найдем угол между прямыми АD и ВС. Задачи ВС || AD =>

А В С D Решение: А1А1 С1С1 3)Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна, высота пирамиды DO=6. Точки A 1, C 1 – середины рёбер AD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми BA 1 и AC 1. Отрезки АС 1 и ВА 1 – ребра треугольной пирамиды С 1 АВА 1 (опорная задача). 5) Объем пирамиды с основанием ВА 1 А? 4)Расстояние от точки С 1 до плоскости (BDA) (высота пирамиды)? 6) ρ(ВА 1 ;АС 1 )? 1) Длины ребер ВА 1 и АС 1 ? 2) Синус угла между прямыми ВА 1 и АС 1 ? 3) Площадь основания пирамиды – ВА 1 А? O Задачи

A 3)Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна, высота пирамиды DO=6. Точки A 1, C 1 – середины рёбер AD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми BA 1 и AC 1. Решение: O А D А1А1 X Z Y х СхС 1) Введем прямоугольную систему координат Тогда: хDхD Найдем координаты точек С и D B X Y O C H (свойство медиан треугольника) хDхD х СхС С B С1С1 Задачи

Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна, высота пирамиды DO=6. Точки A 1, C 1 – середины рёбер AD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми BA 1 и AC 1. Решение: А В С D А1А1 С1С1 X Z Y (середины СD и АD) Определим координаты направляющих векторов Задачи

Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна, высота пирамиды DO=6. Точки A 1, C 1 – середины рёбер AD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми BA 1 и AC 1. Решение: А В С D А1А1 С1С1 X Z Y Задачи

Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна, высота пирамиды DO=6. Точки A 1, C 1 – середины рёбер AD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми BA 1 и AC 1. Решение: А В С D А1А1 С1С1 3) Н O В треугольнике BDA Задачи

Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна, высота пирамиды DO=6. Точки A 1, C 1 – середины рёбер AD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми BA 1 и AC 1. Решение: 4) Найдем расстояние от точки С 1 до плоскости (BDA) (высоту пирамиды). Выведем уравнение плоскости (ЕFP) Задачи

А В С D Решение: А1А1 С1С1 3)Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна, высота пирамиды DO=6. Точки A 1, C 1 – середины рёбер AD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми BA 1 и AC 1. 5) Найдем объем пирамиды с основанием ВА 1 А? O Задачи

При создании презентации использовано пособие: