Функции Величина у называется функцией переменной величины х, если каждому из значений, которые может принимать х, соответствует либо одно, либо несколько определенных значений переменной у. В первом случае функция называется однозначной, во втором – многозначной.

Примеры Путь, пройденный за определенное время – функция от скорости; Путь, пройденный за определенное время – функция от скорости; Площадь круга – функция радиуса; Площадь круга – функция радиуса; Интенсивность распада радиоактивного вещества данной массы – функция времени; Интенсивность распада радиоактивного вещества данной массы – функция времени; Скорость размножения бактерий – функция их количества; Скорость размножения бактерий – функция их количества; Мощность тока – функция силы тока и напряжения; Мощность тока – функция силы тока и напряжения; Скорость автомобиля – функция мощности его мотора, веса, силы трения о грунт, лобового сопротивления воздуха. Скорость автомобиля – функция мощности его мотора, веса, силы трения о грунт, лобового сопротивления воздуха.

Примеры

Способы задания функции Аналитический – способ задания формулами, математическими символами Аналитический – способ задания формулами, математическими символами Табличный способ Табличный способ Графический способ Графический способ Способ задания с помощью антье (от франц. Entier – целый) Способ задания с помощью антье (от франц. Entier – целый) Примеры

Элементарные функции – те функции, которые можно выразить через основные элементарные, используя конечное число раз арифметические операции и суперпозицию. Основные элементарные Степенная Степенная Показательная Показательная Логарифмическая Логарифмическая Тригонометрическая Тригонометрическая Основные элементарные алгебраические и трансцендентные Алгебраические - F(x,y)=0 делятся на целые рациональные, дробно-рациональные, иррациональные Трансцендентные показательная, логарифмическая, тригонометрические

Общие свойства функции Область определения – множество всех действительных значений переменной х при которых это выражение принимает действительные значения Область определения – множество всех действительных значений переменной х при которых это выражение принимает действительные значения D (f) = X Область значения – множество всех значений у Четность и нечетность Функция называется четной, если выполняется равенство f(-x)=f(x) Функция называется нечетной, если выполняется равенство f(-x)=-f(x) Периодичность – функция называется периодической при условии f(x+T)=f(x-T)=f(x), где Т – период функции

Общие свойства функции Возрастание Возрастание Функция называется возрастающей, если для любых чисел выполняется неравенство Функция называется возрастающей, если для любых чисел выполняется неравенство Убывание Функция называется возрастающей, если для любых чисел выполняется неравенство Выпуклость График называется выпуклым на интервале, если любая дуга его лежит над стягивающей ее хордой Вогнутость График называется вогнутым на интервале, если любая дуга его лежит под стягивающей ее хордой

Общие свойства функции Максимумы Максимумы Точка называется Точка называется точкой локального максимума функции, если существует точкой локального максимума функции, если существует такая ее окрестность такая ее окрестность что для всех значений х из этой окрестности выполняется неравенство что для всех значений х из этой окрестности выполняется неравенство Минимумы Точка называется точкой локального максимума функции, если существует такая ее окрестность что для всех значений х из этой окрестности выполняется неравенство

Исследование функции Область определения и изменения «Особые приметы»:четность, нечетность, периодичность Корни и промежутки знакопостоянства Непрерывность, характер точек разрыва, пределы на бесконечности Асимптоты Исследование на монотонность и экстремумы Исследование на выпуклость и перегиб Нахождение значений функции в характерных точках Построение эскиза

Применение производной Производная функции, заданной на некотором интервале (а;в) в точке х этого интервала называется предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Производная функции, заданной на некотором интервале (а;в) в точке х этого интервала называется предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Применение производной Нахождение критических точек Нахождение критических точек Нахождение промежутков возрастания и убывания Нахождение промежутков возрастания и убывания Определение асимптот Определение асимптот Определение выпуклости и вогнутости функции Определение выпуклости и вогнутости функции

Применение производной Нахождение критических точек Нахождение критических точек Нахождение промежутков возрастания и убывания Функция убывает, если Функция возрастает, если Определение выпуклости функции Выпуклость вниз (вогнутые) Определение вогнутости функции Выпуклость вверх (выпуклые)

Применение производной Определение асимптот Определение асимптот Вертикальная. Вертикальная. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой графика функции, если Горизонтальная Горизонтальная Прямая у=в называется горизонтальной асимтотой графика функции, если Прямая у=в называется горизонтальной асимтотой графика функции, если Наклонная Наклонная Прямая у-кх+в называется наклонной асимптотой графика функции, если

Провести полное исследование с построением эскиза графика функции D = R \{-3;3} Функция непериодическая; D симметрична относительна 0, функция нечетная f(x)=0: x=0 Функция непрерывна как рациональная

Провести полное исследование с построением эскиза графика функции Пределы Асимптоты вертикальные х=-3, х=3; горизонтальных нет, наклонная у=-х

Первая производная Критические точки Х=0, х=-3, х=3 Промежутки возрастания [-3;-3);(-3;3);(3;3] Промежутки убывания (- ;-3);(3;+ ) По достаточному условию – 3 – точка минимума По достаточному условию 3 – точка максимума f'f'

Вторая производная (0;0) – точка перегиба (0;0) – точка перегиба Выпуклость вниз на (- ;-3);[0 3). Выпуклость вниз на (- ;-3);[0 3). Выпуклость вверх на(-3;0] (3;+ ) Выпуклость вверх на(-3;0] (3;+ ) f f

График функции