Геометрия, 10 класс Тема: Построение сечений многогранников методом параллельных проекций Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

Вспомним, что при параллельном проектировании в пространстве используют такие понятия как: плоскость проекций (любая плоскость ), направление параллельного проектирования (любая прямая m ). m

Рассматривая любую геометрическую фигуру как множество точек, можно построить в заданной плоскости проекцию данной фигуры. Для этого выбирают любую точку фигуры A (прообраз) и строят ее параллельную проекцию на плоскость A (образ). А А m

Таким образом можно получить изображение (или «проекцию») любой плоской или пространственной фигуры. (см.рис.) m

Пример 1. Постройте сечение треугольной призмы ABCABC, проходящее через точки M, N и K, лежащие в боковых гранях A B C C B M N K M K N Решение. 1)Построим проекции данных трех точек M, N и K на плоскость основания в направлении, параллельном боковому ребру. 2) Соединим две любые данные точки (например, M и K). 3) Построим образ полученного в п.2) отрезка MK. A

A B C A B M N K M K N 4) Соединим отрезком точки N и C, обозначив буквой F точку пересечения с отрезком MK. 5) Так как F MK, то прообраз этой точки F MK. Построим ее. 6) Прямые NN и CC лежат в одной плоскости (подумайте почему?). Построим в этой плоскости точку R=CC NF. 7) В боковых гранях ACC и BCC у нас появились по две точки, принадлежащие сечению, поэтому закончить построение сечения RST нетрудно. F F R S T C

Основной целью применения метода параллельных проекций является получение дополнительной точки сечения (обычно на одном из боковых ребер). Для этого можно воспользоваться следующей схемой (пояснения – из примера 1): 1) нужно выбрать любую пару из данных точек сечения; (M и K) A C A C B M N K M K N F R S T 2) построить их проекции на основание призмы; ( M и K ) 3) направление параллельного проектирование выбирается параллельно боковым ребрам; ( AA ) 4) сначала получить образ вспомогательной точки в плоскости проекций (для этого привлекают образы данных точек сечения и одну из вершин основания призмы); (точка F, вершина – С) 5) найти прообраз вспомогательной точки; (точка F) 6) получить дополнительную точку сечения; (точка R). F Запишите схему в тетрадь!

Примечание. Еще раз обратите внимание на термин «любые» в п.2) примера 1. Попробуйте самостоятельно, по схеме, в тетради построить сечение из примера 1, соединяя две другие пары точек: M и N или N и K. Убедитесь в однозначности получающегося результата (сечение получается таким же). A A B C C B M N K M K N F F R S T A B C A C B M N K M K N F F R S T Дополнительная точка T Дополнительная точка S

Пример 2. Построить сечение четырехугольной призмы ABCDABCD, проходящее через точки M AA, N (BCC) и K (CDD). A A B B C C D D M N K P Q R Наблюдая за ходом построения сечения, составьте алгоритм по предложенной выше схеме. N K F F Четырехугольник MPQR – искомое сечение.

M K M K Пример 3. Построить сечение треугольной призмы ABCABC, заданное тремя точками М ABB, N ACC и K BCC. Решение. Как мы видим, никакие из трех точек сечения не лежат в одной грани призмы. Значит, метод «следа» нам не подходит. Проследим поэтапное применение метода параллельных проекций для построения сечения в данном случае. 1) Построим образы M, N и K данных точек при параллельном проектировании в направлении, параллельном боковому ребру призмы на ее нижнее основание. A B C A B C N N

M N K P L 2) Изобразим отрезок NK как образ отрезка NK. 3) Найдем точку P пересечения отрезков MC и NK. 4) Так как P NK, то прообраз этой точки P NK. Построим ее. 5) Теперь изобразим прообраз отрезка M C отрезок ML, где L=MP CC. 6) Точка L принадлежит плоскости сечения ( MNK ), значит, дальше можно воспользоваться методом «следа». A A B C B P M C K N

M L E D K A B C P P N F G A B В итоге получили искомое сечение – пятиугольник FELDG ! Итак, наша цель в построении сечения была достигнута благодаря появлению дополнительной точки L. K M C N При применении метода «следа» получим точку U. После чего закончить построение сечения нетрудно. U

M N K Примечание. В качестве плоскости проекции можно выбирать любое основание призмы. Применяя вышеописанный алгоритм неоднократно можно обойтись без метода «следа». Пример 4.

Плоскость сечения может задаваться: 1) тремя точками, не лежащими на одной прямой; 2) прямой и точкой, не лежащей на ней; 3) двумя пересекающимися прямыми; 4) двумя параллельными прямыми. Все эти случаи можно свести к первому, выбирая на прямых удобные для нас точки. A A B B C C D K D Пример 5. Постройте сечение 4-угольной призмы, в основании которой произвольный 4- угольник, проходящее через диагональ и точку в противоположных боковых гранях.

Решение. Выберем на диагонали две точки B и A. Построим сечение, проходящее через три точки K, B и A. При параллельной проекции на нижнее основание призмы образами этих точек являются точки K, B и A. A A B B C C D M N K K F F Проведем отрезок AK и построим его образ – отрезок AK. Соединим точки B и D, отмечая точку F пересечения его с AK. Найдем прообраз точки F. Отметим дополнительную точку M=BF DD. Получим сечение призмы AMNB, последовательно соединяя полученные точки. D