Відстань між мимобіжними прямими Способи розвязування задач Творчий проект Башуцької Оксани

Означення: спільним перпендикуляром до двох мимобіжних прямих називається відрізок з кінцями на даних прямих, перпендикулярний до кожної з них. a b A B AB a, AB b

Мимобіжні прямі мають єдиний спільний перпендикуляр. Він є спільним перпендикуляром до паралельних площин, які проходять через ці прямі. a b A B ǁ, AB, AB

Означення: відстанню між мимобіжними прямими називається довжина їх спільного перпендикуляра. Вона дорівнює відстані між паралельними площинами, які проходять через ці прямі. a b A B ǁ, AB, AB, (a,b)= (, )=AB

Основні способи знаходження відстані між двома мимобіжними прямими 1)Будують спільний перпендикуляр до даних мимобіжних прямих і обчислюють його довжину; 2) Проводять через дані мимобіжні прямі паралельні площини і обчислюють відстань між ними; 3) Проводять через одну з мимобіжних прямих площину, паралельну другій прямій і обчислюють відстань до цієї площини від паралельної до неї прямої; 4) Проводять площину, перпендикулярну до однієї з даних прямих і ортогонально проектують на неї обидві прямі. Шукана відстань дорівнює відстані між проекціями цих прямих.

Спосіб 1. Знаходження спільного перпендикуляра В ході розвязання відшукують або будують спільний перпендикуляр до даних мимобіжних прямих і обчислюють його довжину Задача 1. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між прямими ВC і DD 1 A A1A1 B C D B1B1 C1C1 D1D1 CD BC, CD DD 1 як суміжні сторони квадратів – граней куба CD – спільний перпендикуляр для прямих BC та DD 1 (BC, DD 1 )=DC=a

Спосіб 1. Знаходження спільного перпендикуляра Задача 2. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між прямими AA 1 і CB 1 A A1A1 B C D B1B1 C1C1 D1D1 AA 1 A 1 B 1, BC BB 1, BB 1 A 1 B 1 як суміжні сторони квадратів – граней куба За теоремою про три перпендикуляри CB 1 A 1 B 1 A 1 B 1 – спільний перпендикуляр для прямих B 1 C та AA 1 (B 1 C, AA 1 )= A 1 B 1 = a

a b A B a, b, ǁ, AB, AB, (a,b)= (, )=AB Спосіб 2. Побудова паралельних площин В ході розвязання проводять через дані мимобіжні прямі паралельні площини і ; тоді шукана відстань дорівнює відстані між цими площинами.

Спосіб 2. Побудова паралельних площин Задача 3. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між діагоналями несуміжних граней - прямими A 1 В і DC 1 A A1A1 B C D B1B1 C1C1 D1D1 Діагоналі A 1 B та C 1 D лежать у паралельних площинах, а саме: A 1 B (AA 1 B), C 1 D (DD 1 C), (AA 1 B) ǁ (DD 1 C) AD – спільний перпендикуляр для даних граней P K PK- спільний перпендикуляр заданих мимобіжних прямих (A 1 B, DC 1 )=AD=PK=a

a b A B b, a ǁ, AB, AB a, (a,b)= (a, )=AB Спосіб 3. Побудова однієї паралельної площини В ході розвязання проводять через одну з даних мимобіжних прямих b площину, паралельну другій прямій a; тоді шукана відстань дорівнює відстані між прямою a і паралельною їх площиною a1a1

Спосіб 3. Побудова однієї паралельної площини Задача 4. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між діагоналлю основи та несуміжним до неї бічним ребром - прямими A 1 С 1 і DD 1 A A1A1 B C D B1B1 C1C1 D1D1 Проведемо через діагональ A 1 C 1 верхньої грані куба площину, паралельну до бічного ребра DD 1 - площину AA 1 C. AA 1 (AA 1 C), AA 1 ǁ DD 1, тому DD 1 ǁ (AA 1 C) Так як діагоналі квадрата взаємно перпендикулярні (A 1 C 1 B 1 D 1 ) а також взаємно перпендикулярні основи та побудована діагональна площина, то КD 1 – шуканий перпендикуляр і шукана відстань, де К – точка перетину діагоналей основи (A 1 С 1, DD 1 )=KD 1 = K

a b A B Спосіб 4. Побудова перпендикулярної площини Проводять площину, перпендикулярну до однієї з даних прямих a; і ортогонально проектують обидві дані прямі на цю площину; тоді проекцією прямої a є точка А перетину цієї прямої з площиною, проекцією прямої b – деяка пряма b 1 площини, а шукана відстань дорівнює відстані від точки А до прямої b 1 b1b1 m a, b b 1, b 1, a =A, b, m, ǁ a, m ǁ a AB b 1, (a,b)= (A,b 1 )=AB

Спосіб 4. Побудова перпендикулярної площини Задача 5. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між мимобіжними діагоналями суміжних граней куба - прямими AС і DС 1 A A1A1 B C D B1B1 C1C1 D1D1 Опустимо перпендикуляр ОК з точки О на пряму О 1 D ОК – шукана відстань Так як OK O 1 D=OO 1 OD, маємо: О1О1 О К Використаємо перпендикулярність діагоналей квадратів основ куба Проведемо через діагональ BD площину, перпендикулярну до діагоналі АС, - площину BB 1 D. Ортогональними проекціями на неї прямих AС та DC 1 будуть точка О(перетин АС і BD) та пряма DO 1

Спосіб 4. Побудова перпендикулярної площини Задача 6. Рівні прямокутники ABCD і ABC 1 D 1 лежать у перпендикулярних площинах. Знайдіть відстань між мимобіжними прямими AD 1 і С 1 D, якщо АВ=15 см, ВС=20 см C1C1 А B C D D1D1 H Оскільки D 1 A і C 1 В – перпендикуляри до прямої перетину двох перпендикулярних площин, то D 1 A (АВС), С 1 В (АВС). Побудуємо ортогональні проекції прямих AD 1 і С 1 D на площину АВС. Проекціями є відповідно точка А та пряма BD. Шукана відстань дорівнює висоті АН прямокутного трикутника ABD ( A=90 0 )

Спосіб 4. Побудова перпендикулярної площини Задача 6. Рівні прямокутники ABCD і ABC 1 D 1 лежать у перпендикулярних площинах. Знайдіть відстань між мимобіжними прямими AD 1 і С 1 D, якщо АВ=15 см, ВС=20 см C1C1 А B C D D1D1 H Оскільки за теоремою Піфагора ВD=25 см, то Відповідь: 12 см