«МЕТОД МАЖОРАНТ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ». АВТОР УЧЕНИЦА МОУ «СОШ 3» ИЛЬИНА МАРИНА Исследовательская работа

Цели исследовательской работы Изучить определение мажоранты функции и исследовать, какие функции имеют мажоранту; Изучить метод мажорант и его применение для решения нестандартных уравнений и неравенств; Привести примеры уравнений и неравенств, которые могут быть решены методом мажорант.

Определение Мажорантой данной функции f(х) на множестве Р (или множества А чисел) называется такое число М, что либо f(х) М для всех х Р, либо f(х) М для всех х Р (соответственно, х М для всех х из А, или х М для всех х из А). Термин «мажоранта» происходит от французского слова «majorante», от «majorer» объявлять большим.

f(x)= |x| f(x)= sin x. f(x)= ах ² + bx + с f(x)= cos x У=

Полезные неравенства 1 при а > 0 при а < 0, причем равенство достигается, только при а = 1 2 причем равенство достигается при a = b. 3

Метод мажорант Теорема 1. Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена на этом множестве числом А сверху, а g(x) ограничена на этом множестве тем же числом А, но снизу. Тогда уравнение f(x) = g(x) равносильно системе: f(x)=A g(x)=А Теорема 2. Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) и g(x) ограничены на этом множестве снизу (сверху) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x) + g(x) = А+В равносильно системе уравнений: f(x)=A g(x)=B

Теорема 3. Пусть f(x) и g(x) – некоторые неотрицательные функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена сверху ( или снизу) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x)= А равносильно системе уравнений при условии, что А 0 и В 0: f(x)=A g(x)=B В этом утверждении особенно важно условие неотрицательности функций f(x) и g(x), а также условие положительности А и В.

Примеры решения уравнений и неравенств методом мажорант Пример 1 Область значений этой квадратичной функции, причём значение 8 она принимает только один раз при х=5. В левой части уравнения находится функция. Область значение её [-8,8]. Значит, если графики этих функций имеют общую точку, то её ордината может быть только 8. Ответ: решений нет.

Пример 2 Так как сумма 2-х взаимно обратных положительных чисел не меньше 2, значит левая часть больше либо равна 4. Следовательно, данное уравнение равносильно системе: Ответ: 2. Значит y16, следовательно:

Заключение Я считаю, что исследование имеет практическую пользу, так как предложенный в исследовании метод можно использовать при подготовке к олимпиадам и к сдаче ЕГЭ.