Точки и линии, связанные с треугольником Цель моей работы изучить более подробно, чем это сделано в школьном курсе произвольный треугольник и самые знаменитые, связанные с ним точки и линии. В моей работе рассматривается ряд теорем и приведены все доказательства. Сегодня я перечислю основные факты и докажу одну из самых интересных, на мой взгляд, теорему.

О биссектрисах внешних углов Начала я изучение треугольника с известных всем линий – биссектрис углов. В геометрии рассматриваются как биссектрисы внутренних углов треугольника, так и внешних. Уже семиклассникам известно, что биссектрисы внутренних углов треугольника конкурентны, т. е. пересекаются в одной точке. Как же обстоит дело с внешними биссектрисами? Оказывается, что внешние биссектрисы любых двух углов треугольника конкурентны с внутренней биссектрисой третьего угла. C

Теорема Штейнера-Лемуса Кроме того оказалось, что любой треугольник, у которого равны длины биссектрис двух углов (измеряемые от вершины до противоположной стороны) является равнобедренным. Это теорема носит имя Штейнера-Лемуса. Она сотни лет считалась трудной для доказательства, однако на сегодняшний день она доказана.

Ортотреугольник Другие знаменитые линии треугольника – его высоты. Их тоже изучают в школьном курсе. Все высоты конкурентны и их общая точка называется ортоцентром. Треугольник, вершинами которого являются основания высот исходного треугольника, называется ортотреугольником. Поэтому следующее, что я изучала был ортотреугольник. Я выяснила, что ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.

Прямая Эйлера Третья знаменитая линия треугольника - медиана. Как известно все три медианы тоже конкурентны, их общая точка называется центроидом. В моей работе доказано, что ортоцентр, центроид и центр описанной окружности произвольного треугольника лежат на одной прямой. Причем центроид делит расстояние от ортоцентра до центра описанной окружности в отношении 2:1. Прямая же, на которой лежат эти три точки, носит название прямой Эйлера этого треугольника. C

Окружность девяти точек Кроме того, известен и другой замечательный факт: основания трех высот произвольного треугольника, середины трех его сторон и середины трех отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности, называемой окружностью девяти точек этого треугольника. Последний вопрос, который я изучила и отразила в своей работе, связан с расположением окружности девяти точек и прямой Эйлера. Доказано, что центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка, между ортоцентром и центром описанной окружности. Доказательство этого самого интересного, на мой взгляд, факта я сейчас и приведу.

Так как три точки K, L, M диаметрально противоположны точкам A, B, C, то каждый из двух треугольников KLM или ABC может быть получен из другого поворотом на 180 o вокруг центра этой окружности. Очевидно, что этот поворот, который меняет местами эти два равных треугольника, должен так же поменять местами и их ортоцентры H и O. Следовательно, центром окружности девяти точек является середина отрезка OH, которая обозначена точкой N. Таким образом, N – центр окружности девяти точек.