Числа Фибоначчи - одно из сокровищ геометрии Авторы: учащиеся 11 б класса Гаврош Вячеслав, Савин Дмитрий Руководители: учитель математики Числова В.А. учитель информатики Антонова Е.П.

Последовательность Фибоначчи это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда- либо открытых. Последовательность Фибоначчи это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда- либо открытых.

Краткие сведения о Фибоначчи и его трудах Итальянский купец Леонардо из Пизы ( ), более известный под прозвищем Фибоначчи был, безусловно, самым значительным математиком средневековья. Роль его книг в развитии математики и распространении в Европе математических знаний трудно переоценить. Научные трактаты Фибоначчи: Книга абака, написанная в 1202 году, но дошедшая до нас во втором своем варианте, который относится к 1228 г. Практики геометрии ( 1220 г.) Книга квадратов (1225 г.)

Наибольший интерес представляет для нас сочинение "Kнига абака". Эта книга представляет собой объемный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший значительную роль в развитии математики в Западной Европе в течении нескольких следующих столетий. В этом легендарном трактате Фибоначчи изложил следующую задачу: "Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения".

Ясно, что если считать первую пару кроликов новорожденными, то на второй месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц 1+1=2; на 4-й 2+1=3 пары (ибо из двух имеющихся пар потомство даёт лишь одна пара); на 5-й месяц 3+2=5 пар (лишь 2 родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на 5-й месяц); на 6-й месяц 5+3=8 пар (ибо потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и так далее. Таким образом, если обозначить число пар кроликов, имеющихся на n-м месяце через Fk, то F1=1, F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8, F7=13, F8=21 и так далее, причём образование этих чисел регулируется общим законом: Fn=Fn-1+Fn-2 при всех n>2, ведь число пар кроликов на n-м месяце равно числу Fn-1 пар кроликов на предшествующем месяце плюс число вновь родившихся пар, которое совпадает с числом Fn-2 пар кроликов, родившихся на (n-2)-ом месяце (ибо лишь эти пары кроликов дают потомство).

Сокровище геометрии Числа Fn, образующие последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,... называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность последовательностью Фибоначчи. Числа Fn, образующие последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,... называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность последовательностью Фибоначчи. Особые названия этому соотношению начали давать ещё до того, как Лука Пачиоли (средневековый математик) назвал его Божественной пропорцией. Среди его современных названий есть такие, как "Золотое сечение", "Золотое среднее" и "Отношение вертящихся квадратов". Кеплер назвал это соотношение одним из "сокровищ геометрии". В алгебре принято его обозначение греческой буквой фи. Особые названия этому соотношению начали давать ещё до того, как Лука Пачиоли (средневековый математик) назвал его Божественной пропорцией. Среди его современных названий есть такие, как "Золотое сечение", "Золотое среднее" и "Отношение вертящихся квадратов". Кеплер назвал это соотношение одним из "сокровищ геометрии". В алгебре принято его обозначение греческой буквой фи. Ф=1.618 Ф=1.618

О последовательности Фибоначчи и её свойствах 1. Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи. Последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом 60. Если от каждого числа брать по две последние цифры, то они образуют последовательность с периодом, равным 300. Если брать по три последние цифры - с периодом 1500, по четыре - с периодом 15000, по пять - с периодом , по шесть - с периодом Последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом 60. Если от каждого числа брать по две последние цифры, то они образуют последовательность с периодом, равным 300. Если брать по три последние цифры - с периодом 1500, по четыре - с периодом 15000, по пять - с периодом , по шесть - с периодом Fn чётно тогда и только тогда, когда делится на 3. Это частный случай более общего утверждения: каждое третье число Фибоначчи делится на 2, каждое четвёртое – на 3, каждое пятое – на 5, каждое шестое – на 8 и т.д. Делители сами образуют ряд Фибоначчи, причём если n-й делитель обозначать Dn, то Dn = Fn. Fn чётно тогда и только тогда, когда делится на 3. Это частный случай более общего утверждения: каждое третье число Фибоначчи делится на 2, каждое четвёртое – на 3, каждое пятое – на 5, каждое шестое – на 8 и т.д. Делители сами образуют ряд Фибоначчи, причём если n-й делитель обозначать Dn, то Dn = Fn.

Пропорции Фибоначчи в природе Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение - цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий - 38, четвертый - 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения. Оказалось, что у каждого растения свое листорасположение. Так, у липы, вяза, бука, злаков, оно описывается отношением 1/2, у ольхи, орешника, винограда, осоки - 1/3, у дуба и вишни - 2/5, у малины, груши, тополя - 3/8, у миндаля, облепихи - 5/13....