5 класс

Я задумал число, умножил его на 2, прибавил 3 и получил 17. Какое число я задумал? (решите без использования уравнений!) Задача 1 Задача 1

Чтобы получить задуманное число, нужно выполнить обратные Действия с конца: (17-3):2=7. Примечание: Обратное действие умножению - деление. Обратное действие сложению – вычитание. Ответ: 7 Решение:

а) Женя купила конфет. По дороге она встретила подружек и каждую угощала конфетами. Ксюше она дала половину всех конфет. Юле – половину оставшихся, Лене – половину оставшихся. После чего у нее осталась одна конфета, которую она и съела. Сколько конфет купила Женя? б) А если она каждый раз давала половину всех имеющихся у нее конфет и еще полконфеты? Задача 2 Задача 2

а) Будем решать задачу с конца. У Жени в конце осталась одна конфета. Так как она Лене отдала половину всех имеющихся конфет, то 1 конфета – это половина от тех конфет, которые были до встречи с Леной. Значит, перед встречей с Леной оставалось 2 конфеты. Такими же рассуждениями получаем, что перед встречей с Юлей оставалось 4 конфеты. А перед встречей с Ксюшей в два раза больше, чем после встречи. Значит, всего у Жени было 8 конфет. Ответ: 8 конфет б) Решаем задачу с конца. После Лены осталась одна конфета. Лене было отдано половина оставшихся и еще полконфеты. Значит, перед Леной было (1+0,5)*2=3 конфеты (заменяем действия на обратные). Далее перед встречей с Юлей конфет (3+0,5)*2=7. Перед встречей с Ксюшей (7+0,5)*2=15. Таким образом, у Жени вначале было 15 конфет. Ответ: 15 конфет Решение:

В школьном буфете за булочками к чаю выстроилась очередь. Булочки задерживались, и в каждый промежуток между стоящими успело влезть по человеку. Булочки все еще не начали выдавать, и во все промежутки опять влезло по человеку. Тут наконец принесли 85 булочек, и всем стоящим досталось по одной. Сколько человек стояли в очереди первоначально? Задача 3

Если в очереди стоит сколько-то человек, то промежутков между ними меньше на один. Значит, если в конце стояло 85 человек, то тех, кто только что влез в очередь на одного меньше, чем там стояло до этого. Значит, там стояло (85+1):2=43. Когда стояло 43 человека, тех, кто стоял с самого начала на одного больше, чем тех, кто влез первый раз (так как промежутков на один больше, чем людей). Значит, в самом начале стояло (43+1):2=22 человека. Ответ: 22 человека Решение:

На озере расцвела одна лилия. Каждый день количество цветов на озере удваивалось, и на 20-й день все озеро покрылось цветами. На который день озеро покрылось бы цветами, если бы в первый день расцвели две лилии? Задача 4

В первом случае в первый день расцвела одна лилия, во второй день – 2, в третий – 4, и так далее, на 20 день заполнилось всё озеро. Во втором случае в первый день расцвели 2 лилии, во второй день уже 4 лилии и так далее. Т.к. каждый раз количество лилий увеличивается в 2 раза, то количество лилий в какой-то день первом случае равно количеству лилий во втором случае, но на день раньше. Значит, если в первом случае озеро заполнилось на 20-ый день, то во втором случае озеро заполнится на день раньше, то есть на 19-ый день. Ответ: на 19-ый день Решение:

Улитка решила навестить свою бабушку, которая живет на вершине столба высотой 20 м. За день она проползает вверх 3 м, а за ночь во сне съезжает вниз на 2 м. Через сколько дней произойдет радостная встреча? Задача 5

Т.к. улитка за день поднимается на 3 м., а за ночь съезжает на 2 м., то за сутки (день и ночь) она поднимется на 1 м. Значит, после того, как прошло 17 суток, улитка проползла вверх 17 м., затем наступает день, и она поднимается еще на 3 метра. Итого улитка проползла 20 м. и добралась до своей бабушки. Посчитаем, за какое количество дней она это сделала. Улитка ползла 17 суток и один день. Т.к. в сутках ровно 1 день, то всего улитка ползла 18 дней. Ответ: через 18 дней Решение:

В ящике лежат лимоны. Сначала из него взяли половину всех лимонов и еще пол- лимона, затем половину остатка и еще половину лимона, наконец, половину нового остатка и еще пол-лимона. После этого в ящике остался 31 лимон. Сколько лимонов было в ящике ? Задача 6

Будем решать задачу с конца. Всего из ящика брали лимоны 6 раз (3 раза по половине ящика и 3 раза по пол-лимона). Последний раз из ящика взяли пол- лимона, значит, после 5-ого раза в ящике оставалось 31+0,5=31,5 лимон. Т.к. в 5-ый раз забрали половину лимонов в ящике, и осталось 31,5 лимон, значит, после 4-ого раза в ящике оставалось 31,5*2=63 лимона. Аналогично рассуждая, после 3-его раза в ящике оставалось 63,5 лимона, значит, после 2-ого раза в ящике осталось 63,5*2=127 лимонов. После 1- ого раза в ящике осталось 127,5 лимонов, значит изначально в ящике было 127,5*2=255 лимонов. Ответ: 255 лимонов Решение:

Над озерами летели гуси. На каждом озере садились половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на 7 озерах. Сколько было гусей? Задача 7

Будем решать задачу с конца. Пусть гуси, начиная с седьмого озера, начинают улетать. Т.к. на каждое озеро садились сначала половина всех гусей, а потом еще полгуся, то, когда гуси улетают с озер, к общей стаи, пролетая очередное озеро, сначала присоединяется полгуся, а потом количество гусей в стае удваивается. После 7-ого озера в стае осталось 0 гусей, значит, после 6-ого озера летело (0+0.5)*2=1 гусь. Аналогично, после 5-ого озера летели (1+0.5)*2=3 гуся, после 4-ого озера летели (3+0.5)*2=7 гусей, после 3-его озера летели (7+0.5)*2=15 гусей, после 2-ого озера летел (15+0.5)*2=31 гусь, после 1-ого озера летели (31+0.5)*2=63 гуся, значит перед 1-ым озером летели (63+0.5)*2=127 гусей. Значит, всего было 127 гусей. Ответ: 127 гусей Решение:

Из числа вычли сумму его цифр. Из полученного числа вновь вычли сумму его (полученного числа) цифр, и так делали снова и снова. После 11 таких вычитаний впервые получили нуль. С какого числа начали? Задача 8

Остаток любого числа при делении на 9 совпадает с остатком суммы цифр числа при делении на 9. Тогда после первого вычитания полученное число делится на 9. И все последующие числа тоже кратны 9. Рассмотрим получаемые нами числа с конца. Последнее число 0. Единственное число кратное 9 из которого можно получить 0 за одно вычитание – число 9(так как у всех остальных чисел кратных 9 сумма цифр меньше самого числа). Далее рассмотрим из каких чисел можно получить 9 за одно вычитание: пусть у такого двузначного числа первая цифра a, вторая цифра b. Разница самого числа и суммы его цифр равна (10a+b)-(a+b)=9a. 9a=9 Значит, a=1, b=8. То есть на предыдущем шаге было число 18. Такими же рассуждениями получим, что обязательно получалось число 81 после второго вычитания. Далее могут быть два числа: либо 90, либо 99. Но 90 за одно вычитание получить невозможно. Значит, было число 99. За одно вычитание 99 можно получить из 100,101,102….107,108. Если будем брать большие числа, то за одно вычитание будут получаться числа, больше 99, что не подходит. Значит, нам подходят только числа от 100 до 109. Ответ: 100,101,102…107,108,109 Решение:

Улитка ползет по плоскости с постоянной скоростью. Каждые 15 минут она поворачивает под прямым углом. Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет только через целое число часов. Задача 9*

Раскрасим точки всей плоскости, в которых улитка может поворачивать как показано на рисунке (точки- середины квадратиков). Пусть изначально улитка стоит в какой-либо точке 1 цвета и смотрит вверх. Тогда через 15 минут она окажется в точке 2 цвета и повернет на 90 градусов. Еще через 15 минут она окажется в клетке 3 цвета. Затем через 15 минут в клетке 4 цвета, а через час после начала движения в какой-то клетке 1 цвета и т.д. После 1 цвета - 2 цвет, после 2 цвета – 3 цвет, …, после 4 цвета – 1 цвет. Таким образом улитке потребуется число шагов (1 шаг это 15 минут) кратное 4. Значит, потребуется целое число часов. Решение:

Маша и ее друзья встали в круг. Оказалось, что у каждого из них оба соседа либо оба мальчики, либо девочки. Задача 10* Мальчиков среди Машиных друзей пять. А сколько девочек?

Рассмотрим два случая: 1 случай. Если рядом с Машей обе девочки. Тогда рассмотрим первую девочку, которая справа от Маши. По условию, справа от нее стоит какая-то вторая девочка. Далее, по условию, справа от этой второй девочки стоит какая-то третья девочка и т.д. Получаем, что все девочки, чего быть не может. Противоречие. 2 случай. Если рядом с Машей оба мальчика. Тогда через одного человека от Маши должны стоять обе девочки. Рядом с этими девочками должны стоять все мальчики. Рядом с этими мальчиками – все девочки и т.д. Получаем, что девочки и мальчики чередуются, а значит, что девочек на день рождении 5. Значит, у Маши 4 знакомых девочки. Решение: