1

2 Каково может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости? Какие прямые в планиметрии называются параллельными?

3 Аксиома параллельных прямых - ? Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной и притом только одна

4 Следствия аксиомы параллельных прямых - ? Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

5b a b Взаимное расположение прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространствеn m l p nm lpII a

6 Планиметрия Стереометрия Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. aIIb

7 Две прямые в пространстве называются параллельными, если 1) они лежат в одной плоскости и 2) не пересекаются a b Определение Определение Показать (1)

8 a b aIIb с Прямые а и с не параллельны Показать (2) Прямые b и с не параллельны

9 Две параллельные прямые определяют плоскость. (определение параллельных прямых) a b Показать (1)

10 Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. a b Определение ОпределениеАВ СD АВ II СD mn FL FL II n Показать (2) FL Отрезок FL параллелен n прямой n АВ и СD Отрезки АВ и СD параллельны

11 А Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Повторим. Повторим. ПЛАНИМЕТРИЯ. Аксиома параллельности. а b Аксиома параллельности поможет доказать теорему о параллельных прямых

12 Теорема Теорема Через точку вне данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну. М a b Прямая и не лежащая на ней точка определяют плоскость Показать (2)

13

14

15

16

17 Следствие из аксиомы параллельности. а c b Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. a II b, c b c a

18 а b с Повторим. Повторим. Следствие из аксиомы параллельности. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. a II с, b II с a II b Аналогичное утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве.

19 a b с Теорема Теорема Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. a II с, b II с Докажем, что a II b К а 1) Точка К и прямая а определяют плоскость. аb Докажем, что а и b 1)Лежат в одной плоскости 2) не пересекаются b Докажем, что прямая b лежит в этой плоскости. b са а Допустим, что прямая b пересекает плоскость. Тогда по лемме с также пересекает. По лемме и а также пересекает. Это невозможно, т.к. а лежит в плоскости 2) Используя метод от противного объясните почему прямые а и b не пересекаются.

20 Дано: АА 1 II СС 1, АА 1 II ВВ 1, ВВ 1 = СС 1 Доказать, что В 1 С 1 = ВС А В1В1 С А1А1 В С1С1 Проверка

21 Дано: А 1 С 1 = АС, А 1 С 1 II АС, А 1 В 1 = АВ, А 1 В 1 II АВ Доказать, что CС 1 = ВB 1 А В1В1 С А1А1 В С1С1 Проверка

22 А В С Е F K M Треугольник АВС и квадрат АEFC не лежат в одной плоскости. Точки К и М – середины отрезков АВ и ВС соответственно. Докажите, что КМ II EF. Найдите КМ, если АЕ=8 см. 8 см

23 А В С С D K M Квадрат АВСD и трапеция KMNL не лежат в одной плоскости. Точки A и D – середины отрезков KM и NL соответственно. Докажите, что КL II BC. Найдите BC, если KL=10 см, MN= 6 см. N L 10 см 6 см

24 Отрезок АВ не пересекается с плоскостью. Через концы отрезка АВ и его середину (точку М) проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках А 1, В 1 и М 1. а) Докажите, что точки А 1, В 1 и М 1 лежат на одной прямой. б) Найдите АА 1, если ВВ 1 = 12 см, ММ 1 =8 см. А М В Проверка В1В1 А1А1 M1M1