Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел

Рассмотрим числа Делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 Делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8,12, 24 Найдём среди них общие 1, 2, 3, 4, 6, 12 Выберем самый большой это и будет наибольший общий делитель НОД (36;24) =12

Определение: Два натуральных числа a и b называют взаимно простыми числами, если у них нет общих делителей отличных от 1; иными словами НОД (a; b)=1 Например: 23 и 6; 12 и 25; 56 и 101

Теорема 5 Если даны натуральные числа а и р, причём р – простое число, то либо а делится на р, либо а и р – взаимно простые числа.

Выпишите первые пять чисел, кратных числам 24 и 36 Числа, кратные 24: 24, 48, 72, 96, 120, … Числа, кратные 36: 36, 72, 108, 144, 180, … Найдём среди них самое маленькое одинаковое число НОК (24; 36)=72

Свойство 10 Если К – общее кратное чисел a и b, то К делится на НОК (a; b) Свойство 11 Если a делится на b 1 и а делится на b 2, то а делится на НОК (b 1 ; b 2 ).

Свойство 12 Если а делится на с и b делится на с, то ab/c общее кратное чисел а и b

Теорема 6 Для любых натуральных чисел а и b справедливо равенство НОК (а; b)НОД (а; b)=аb Следствие Если числа а и b взаимно простые, то НОК (а; b)=аb

Свойство 13 Если a делится на b 1 и а делится на b 2 и b 1, b 2 числа взаимно простые, то а делится на b 1 b 2.

Основная теорема арифметики натуральных чисел Теорема 7 Любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители. Теорема 8 Если натуральное число разложено на простые множители, то такое разложение единственно; иными словами, любые два разложения числа на простые множители отличаются друг от друга лишь порядком множителей.

Каноническим называют разложение на множители при котором простые множители располагаются в порядке возрастания. Например: 36=2233