Параллелограмм
Определение Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны В начало Вперед
Определение Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны В начало Вперед Назад
Определение AB || DCAD || BC В начало Вперед Назад
Определение Параллельные стороны параллелограмма называются основаниями AB и DC AD и BC В начало Вперед Назад
Определение Расстояние между основаниями называют высотой параллелограмма В начало Вперед Назад
Определение Расстояние между АВ и DC В начало Назад Вперед
Определение Расстояние между AD и BC В начало Назад
Признаки В начало Вперед
Признаки Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырех- угольник - параллелограмм В начало Вперед Назад 1)
Признаки AB = DC AB || DC или В начало Вперед Назад 1)
Признаки AD = BC AD || BC В начало Назад Вперед 1)
Признаки Пусть AB = DC, AB || DC В начало Назад Вперед 1)
Признаки Доказать, что ABCD - параллелограмм В начало Назад Вперед 1)
Признаки Доказательство: В начало Назад Вперед 1)
Признаки Проведем диагональ DB Докажем равенство треугольников ADB и BCD В начало Назад Вперед 1) Дано: AB = DC AB || DC Доказать, что ABCD - параллелограмм
Признаки AB = DC по условию DB – общая сторона <1 = <2 – внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и DC секущей DB В начало Назад Вперед 1) Дано: AB = DC AB || DC Доказать, что ABCD - параллелограмм
Признаки ADB = BCD по двум сторонам и углу между ними В начало Назад Вперед 1) Дано: AB = DC AB || DC Доказать, что ABCD - параллелограмм
Признаки Из равенства треугольников следует, что <3 = <4, а они являются внутренними накрест лежащими при прямых AD и BC секущей DB В начало Назад Вперед 1) Дано: AB = DC AB || DC Доказать, что ABCD - параллелограмм
Признаки Значит, AD || BC В начало Назад 1) Дано: AB = DC AB || DC Доказать, что ABCD - параллелограмм Вперед
Признаки Следовательно, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны AB и DC; AD и BC параллельны. => ABCD – параллелограмм по определению В начало Назад 1) Дано: AB = DC AB || DC Доказать, что ABCD - параллелограмм
Признаки Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм В начало Вперед 2)
Признаки AB = DC AD = BC В начало Вперед Назад 2)
Признаки Пусть AB = DC; AD = BC В начало Вперед Назад 2)
Признаки В начало Вперед Назад Доказать, что ABCD - параллелограмм 2)
Признаки В начало Вперед Назад Доказательство: 2)
Признаки Проведем диагональ DB Докажем равенство треугольников ADB и BCD В начало Назад Вперед 2) Дано: AB = DC AB || DC Доказать, что ABCD - параллелограмм
Признаки AB = DC по условию AD = BC по условию DB – общая сторона В начало Назад Вперед 2) Дано: AB = DC AB || DC Доказать, что ABCD - параллелограмм
Признаки ADB = BCD по трем сторонам В начало Назад Вперед 2) Дано: AB = DC AB || DC Доказать, что ABCD - параллелограмм
Признаки Значит, <1 = <2, а они являются внутренними накрест лежащими при прямых AB и DC и секущей DB В начало Назад Вперед 2) Дано: AB = DC AB || DC Доказать, что ABCD - параллелограмм
Признаки Значит, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны AB и DC параллельны и равны, значит ABCD – параллелограмм по первому признаку В начало Назад 2) Дано: AB = DC AB || DC Доказать, что ABCD - параллелограмм
Признаки Диагональ параллелограмма делит его пополам В начало Вперед 3)
Признаки DB – диагональ В начало Вперед Назад 3)
Признаки Пусть AO = OC; DO = OB В начало Вперед Назад 3)
Признаки В начало Вперед Назад Доказать, что ABCD - параллелограмм 3)
Признаки В начало Вперед Назад Доказательство: 3)
Признаки Докажем равенство треугольников AOD и COB В начало Назад Вперед 3) Дано: AО = ОC DO = OB Доказать, что ABCD - параллелограмм
Признаки AO = OC по условию DO = OB по условию <1 = <2 - вертикальные В начало Назад Вперед 3) Дано: AО = ОC DO = OB Доказать, что ABCD - параллелограмм
Признаки AOD = COB по двум сторонам и углу между ними В начало Назад Вперед 3) Дано: AО = ОC DO = OB Доказать, что ABCD - параллелограмм
Признаки Значит, <3 = <4, а они являются внутренними накрест лежащими при прямых AD и BC и секущей DB В начало Назад Вперед 3) Дано: AО = ОC DO = OB Доказать, что ABCD - параллелограмм
Признаки Значит, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны AB и DC параллельны и равны, значит ABCD – параллелограмм по первому признаку В начало Назад 3) Дано: AО = ОC DO = OB Доказать, что ABCD - параллелограмм
Признаки Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм В начало Вперед 3)
Признаки AC и DB – диагонали AO = OC; DO = OB В начало Вперед Назад 3)
Признаки Пусть AO = OC; DO = OB В начало Вперед Назад 3)
Признаки В начало Вперед Назад Доказать, что ABCD - параллелограмм 3)
Признаки В начало Вперед Назад Доказательство: 3)
Признаки Докажем равенство треугольников AOD и COB В начало Назад Вперед 3) Дано: AО = ОC DO = OB Доказать, что ABCD - параллелограмм
Признаки AO = OC по условию DO = OB по условию <1 = <2 - вертикальные В начало Назад Вперед 3) Дано: AО = ОC DO = OB Доказать, что ABCD - параллелограмм
Признаки AOD = COB по двум сторонам и углу между ними В начало Назад Вперед 3) Дано: AО = ОC DO = OB Доказать, что ABCD - параллелограмм
Признаки Значит, <3 = <4, а они являются внутренними накрест лежащими при прямых AD и BC и секущей DB В начало Назад Вперед 3) Дано: AО = ОC DO = OB Доказать, что ABCD - параллелограмм
Признаки Значит, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны AB и DC параллельны и равны, значит ABCD – параллелограмм по первому признаку В начало Назад 3) Дано: AО = ОC DO = OB Доказать, что ABCD - параллелограмм
Признаки Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм В начало Вперед 4)4)
Признаки <A = <C; <B = <D В начало Вперед Назад 4)4)
Признаки Докажем, что ABCD - параллелограмм В начало Вперед Назад 4)4)
Признаки Дано: <A = <C <B = <D Доказать, что ABCD - параллелограмм В начало Назад Вперед 4)4) Доказательство:
Признаки Дано: <A = <C <B = <D Доказать, что ABCD - параллелограмм В начало Назад Вперед 4)4) Т.к. <A = <C, a <B = <D, то <A = <C = x, a <B = <D = y. Тогда Пусть <A = x, а <B = y.
Признаки Сумма всех углов четырехугольника равна 2(x+y) Т.к. сумма всех углов четырехугольника равна 360 о, то составим уравнение В начало Назад Вперед 4)4) Дано: <A = <C <B = <D Доказать, что ABCD - параллелограмм
Признаки 360 = 2 (x + y) 180 = x + y В начало Назад Вперед 4)4) Дано: <A = <C <B = <D Доказать, что ABCD - параллелограмм
Признаки Значит, <A + <B = 180 o, и <A + <D = 180 o В начало Назад Вперед 4)4) Дано: <A = <C <B = <D Доказать, что ABCD - параллелограмм
Признаки <A и <D - это внутренние односторонние углы при прямых AВ и DC секущей AD => AB || DC В начало Назад Вперед 4)4) Дано: <A = <C <B = <D Доказать, что ABCD - параллелограмм
Признаки <A и <B - это внутренние односторонние углы при прямых AD и BC секущей AB => AD || BC В начало Назад Вперед 4)4) Дано: <A = <C <B = <D Доказать, что ABCD - параллелограмм
Признаки AB || DC и AD || BC, значит ABCD – параллелограмм по определению. В начало Назад Дано: <A = <C <B = <D Доказать, что ABCD - параллелограмм 4)4)
Свойства В начало
Свойства
В начало Свойства
В начало Вперед В параллелограмме противоположные углы равны и противоположные стороны равны 1)
Свойства В начало Вперед Назад AB || CD; AD || BC 1)
Свойства В начало Вперед Назад Доказать, что AB = CD; AD = BC; <A = <C; <D = <B 1)
Свойства Дано: AB || CD; AD || BC Доказать, что AB = CD; AD = BC; <A = <C; <D = <B Проведем диагональ AC В начало Назад Вперед 1)
Свойства <1 = <2; <3 = <4 – внутренние накрест лежащие углы; AC - общая В начало Назад Вперед 1) Дано: AB || CD; AD || BC Доказать, что AB = CD; AD = BC; <A = <C; <D = <B
Свойства ADC = CBA по стороне и двум углам => В начало Назад Вперед 1) Дано: AB || CD; AD || BC Доказать, что AB = CD; AD = BC; <A = <C; <D = <B
Свойства Значит AB = CD; AD = BC; <A = <C; <D = <B В начало Назад 1) Дано: AB || CD; AD || BC Доказать, что AB = CD; AD = BC; <A = <C; <D = <B
Свойства В начало Вперед Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам 2)
Свойства В начало Вперед Назад AB || CD; AD || BC 2)
Свойства В начало Вперед Назад Доказать, что AO = OC; DO = BO 2)
Свойства Дано: AB || CD; AD || BC Доказать, что AO = OC; DO = BO AD = BC – противоположные стороны параллелограмма В начало Назад Вперед 2)
Свойства <1 = <3; <2 = <4 – внутренние накрест лежащие углы В начало Назад Вперед 2) Дано: AB || CD; AD || BC Доказать, что AO = OC; DO = BO
Свойства AOD = COB по стороне и двум углам => В начало Назад Вперед 2) Дано: AB || CD; AD || BC Доказать, что AO = OC; DO = BO
Свойства Значит AO = OC; DO = BO В начало Назад 2) Дано: AB || CD; AD || BC Доказать, что AO = OC; DO = BO
Свойства В начало Вперед Диагональ делит параллелограмм пополам 3)
Свойства В начало Вперед Назад DB - диагональ 3)
Свойства В начало Вперед Назад Доказать, что ADB = BCD 3)
Свойства <3 = <4 – внутренние накрест лежащие углы при AB || DC и секущей DВ В начало Назад Вперед 3) Дано: AB || CD; AD || BC; DВ - диагональ Доказать, что ADB = BCD
Свойства <1 = <2 – внутренние накрест лежащие углы при AD || BC и секущей DВ В начало Назад Вперед 3) Дано: AB || CD; AD || BC; DВ - диагональ Доказать, что ADB = BCD
Свойства DB – общая сторона В начало Назад Вперед 3) Дано: AB || CD; AD || BC; DВ - диагональ Доказать, что ADB = BCD
Свойства ADB = BCD по стороне и двум углам В начало Назад 3) Дано: AB || CD; AD || BC; DВ - диагональ Доказать, что ADB = BCD
Свойства В начало Вперед В параллелограмме биссектрисы противоположных углов параллельны 4)4)
Свойства В начало Вперед Назад AE и CF - биссектрисы 4)4)
Свойства В начало Вперед Назад Доказать, что AE || FC 4)4)
Свойства Дано: AB || CD; AD || BC; AE и CF - биссектрисы Доказать, что AE || FC <3 = <5 – внутренние накрест лежащие углы В начало Назад Вперед 4)4)
Свойства <1 = <2 = <3 = <4 = <5, т.к. AE и CF - биссектрисы В начало Назад Вперед 4)4) Дано: AB || CD; AD || BC; AE и CF - биссектрисы Доказать, что AE || FC
Свойства <2 и <5 – соответственные при AE и FC => AE || FC В начало Назад Вперед 4)4) Дано: AB || CD; AD || BC; AE и CF - биссектрисы Доказать, что AE || FC
Свойства AE || FC, что и требовалось доказать В начало Назад 3) Дано: AB || CD; AD || BC; AE и CF - биссектрисы Доказать, что AE || FC
Свойства В начало Вперед В параллелограмме биссектрисы смежных углов перпендикулярны 5)5)
Свойства В начало Вперед Назад AE и DF - биссектрисы 5)5)
Свойства В начало Вперед Назад Доказать, что <AOD = 90 o 5)5)
Свойства Дано: AB || CD; AD || BC; AE и DF - биссектрисы Доказать, что <AOD = 90 o Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник => В начало Назад Вперед 5)5)
Свойства => ADF – равнобедренный треугольник с основанием DF В начало Назад Вперед 5)5) Дано: AB || CD; AD || BC; AE и DF - биссектрисы Доказать, что <AOD = 90 o
Свойства AO – биссектриса, высота и медиана в равнобедренном треугольнике => В начало Назад Вперед 5)5) Дано: AB || CD; AD || BC; AE и DF - биссектрисы Доказать, что <AOD = 90 o
Свойства => <AOD = 90 o, что и требовалось доказать В начало Назад 5)5) Дано: AB || CD; AD || BC; AE и DF - биссектрисы Доказать, что <AOD = 90 o
Свойства В начало Вперед Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма 6)
Свойства В начало Вперед Назад AE и АF - высоты 6)
Свойства В начало Вперед Назад Доказать, что <1 = <2 6)
Свойства Дано: AB || CD; AD || BC; AE и AF - высоты Доказать, что <1 = <2 Пусть <C = α. Сумма углов четырехугольника = 360 о, тогда <1 = 360 о - 90 о - 90 о - α = 180 о - α В начало Назад Вперед 6)
Свойства Т.к. сумма углов прилежащих к одной стороне параллелограмма = тогда <2 + <C = 180 о => <2 = 180 о – α. В начало Назад Вперед 6) Дано: AB || CD; AD || BC; AE и AF - высоты Доказать, что <1 = <2
Свойства Значит <1 = <2, что и требовалось доказать. В начало Назад 6) Дано: AB || CD; AD || BC; AE и AF - высоты Доказать, что <1 = <2
Теорема Вариньона В начало Вперед Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма
Теорема Вариньона В начало Вперед Назад AM = DM; DN = NC; CF = FB; BE = EA
В начало Вперед Назад Теорема Вариньона Доказать, что MENF - параллелограмм
Дано: AM = DM; DN = NC; CF = FB; BE = EA Доказать, что MENF - параллелограмм Проведем диагональ DB В начало Назад Вперед
Теорема Вариньона Рассмотрим треугольник ADB В начало Назад Вперед Дано: AM = DM; DN = NC; CF = FB; BE = EA Доказать, что MENF - параллелограмм
Теорема Вариньона Т.к АМ = MD,а AE = BE то ME средняя линия треугольника ADB => ME || DB, МЕ = 0,5 DB В начало Назад Вперед Дано: AM = DM; DN = NC; CF = FB; BE = EA Доказать, что MENF - параллелограмм
Теорема Вариньона Рассмотрим треугольник BCD В начало Назад Вперед Дано: AM = DM; DN = NC; CF = FB; BE = EA Доказать, MENF - параллелограмм
Теорема Вариньона Т.к BF = FC,а DN = NC, то FN средняя линия треугольника BDC => NF || DB, NF = 0,5 DB В начало Назад Вперед Дано: AM = DM; DN = NC; CF = FB; BE = EA Доказать, что MENF - параллелограмм
Теорема Вариньона ME || NF т.к. если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой В начало Назад Вперед Дано: AM = DM; DN = NC; CF = FB; BE = EA Доказать, что MENF - параллелограмм
Теорема Вариньона ME = 0,5 DB и FN = 0,5 DB, значит ME = NF. В начало Назад Вперед Дано: AM = DM; DN = NC; CF = FB; BE = EA Доказать, что MENF - параллелограмм
Теорема Вариньона ME = NF и ME || NF В начало Назад Вперед Дано: AM = DM; DN = NC; CF = FB; BE = EA Доказать, что MENF - параллелограмм
Теорема Вариньона Значит MENF - параллелограмм В начало Назад Вперед Дано: AM = DM; DN = NC; CF = FB; BE = EA Доказать, что MENF - параллелограмм