Производные простых функций (х – независимая переменная) Производные сложных функций (u=u(х) – любая дифференцируемая функция)

1. Найти производную функции Проверка(2) Таблица производных

2. Найти производную функции Проверка(2) Таблица производных

3. Найти производную функции Таблица производных

Угловой коэффициент прямой Прямая проходит через начало координат и точку Р(3; -1). Чему равен ее угловой коэффициент? x 0 y Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид: P 33

2 4 k = -1 k = 0 k = 3 Найдите угловые коэффициенты прямых x 0 y k =0,5 Проверка(2) Сделай клик мышью по номеру графика

Касательная к кривой 0 y x I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I Точка касания

несколько бесконечно много Касательная к графику функции может иметь с ним несколько и даже бесконечно много общих точек (рис. 1). в точке касания Кроме того, может случиться, что в точке касания кривая переходит с одной стороны касательной на другую (рис. 2). Рис.1 Рис.2

Геометрический смысл производной угловому коэффициенту Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке. k – угловой коэффициент прямой (касательной) Касательная x y 0

Если угол наклона касательной острый, то тангенс положительный, а значит, производная положительна. Положительная производная 0 x y x0x0x0x0 К а с а т е л ь н а я

Если угол наклона касательной тупой, то тангенс отрицательный, а значит, производная отрицательна. Отрицательная производная 0 x y x0x0x0x0 К а с а т е л ь н а я

Если угол наклона касательной равен нулю, то тангенс равен нулю, а значит, производная равна нулю. 0 x y Нулевая производная x0x0x0x0 К а с а т е л ь н а я

Если угол наклона прямой, то тангенс не существует, а значит, производная не существует. Производная не существует 0 x y не существует x0x0x0x0 Касательная Касательная

Выводы: существует можно только одну.Если производная функции в какой- либо точке существует, то это означает, что к графику функции в этой точке можно провести касательную, и притом только одну. не существует нельзя касательная вертикальна Если же производная в какой-либо точке не существует, то такой касательной провести нельзя или касательная вертикальна.

y=f(x) 0 1 y 1 x x0x0 острый tgα>0 tgα>0 f '(x 0 )>0 f '(x 0 )>0 f '(x 0 )= tg α = 6:2 = 3 f '(x 0 ) = tg α = 6:2 = 3 4. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой. Найти значение производной в точке. 4. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найти значение производной в точке x 0.

01 y 1 x y=f(x) x0x0 тупой тупой tg α<0 f '(x 0 )<0 tg α = - tg β tg α = - 6/4 = = - 1,5 = f '(x 0 ) β 5. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой. Найти значение производной в точке. 5. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найти значение производной в точке x 0.

0 y x x0x0 = = 0 tg = tgα = 0 f ' x = f ' (x 0 ) = 0Касательнаяпараллельна оси ОХ 6. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой. Найти значение производной в точке. 6. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найти значение производной в точке x 0.

7. Какой угол образует касательная к графику функции у = x x x- 1 в точке с абсциссой 0 ? Тупой. Прямой. Острый. Развёрнутый. Проверка(2)

8. Для функции у=x 2 +4 найти точки, в которых угловой коэффициент касательной равен Проверка (3) (0; 4) (2; 8) (2; 4) Невозможно определить.

9. Угловой коэффициент касательной к параболе y = x 2 – 4 x + 2 в точке x 0 =3 равен: Проверка (2) Иной ответ. 2 –1–1 0

10. На рисунке изображён график функции 10. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найти значение производной этой функции в точке x 0. х у х 0 х 0 х 0 х , , 5 Проверка

На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой, равной 3. Найти значение производной этой функции в точке x=3. х у х 0 х 0 х 0 х Проверка

12. Укажите абсциссу точки графика функции, в которой угловой коэффициент равен нулю. 12. Укажите абсциссу точки графика функции f(x) = 5+4x–x 2, в которой угловой коэффициент равен нулю –2–2 2 Проверка (3) 0

858(522). Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой : 858(522). Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y=kx+b в точке с абсциссой x 0 : Проверка -1 1 ух 0 x0x0x0x0

859(523). Найти угол между касательной к графику функции в точке с абсциссой и осью Ox : 859(523). Найти угол между касательной к графику функции y=kx+b в точке с абсциссой x 0 и осью Ox :

1. §48, стр.247; ,858, 859 или 521, 522, *. ЕГЭ – B5. Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции y = f(x) в точке А(-2, 4). Найдите значение f (-2). 4*. А 6. Укажите абсциссу точки графика функции f(x) = 7– 4x – x 2, в которой угловой коэффициент касательной равен нулю. 1). 5; 2). -2 ; 3). 2; 4). 0 Домашнее задание:

домашнего задания домашнего задания 858(522). Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой : 858(522). Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y=kx+b в точке с абсциссой x 0 : Проверка Проверка

859(523). Найти угол между касательной к графику функции в точке с абсциссой и осью Ox : 859(523). Найти угол между касательной к графику функции y=kx+b в точке с абсциссой x 0 и осью Ox : домашнего задания домашнего задания Проверка Проверка

Проведём прямую, проходящую через точки (-2,4) и (0,0). Угловой коэффициент касательной равен производной функции в точке касания. Она является касательной к графику функции y = f(x) в точке x 0 = -2. Угловой коэффициент касательной равен производной функции в точке касания. Это означает, что f (-2) = k = -2. Ответ: -2 B5. B5. Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции y = f(x) в точке А(-2, 4). Найдите значение f (-2). Уравнение этой прямой y = -2x, угловой коэффициент k = -2. у х 0-2 4