Метод областей Выполнили Брусов А. Ильин С. И-11-1

Метод областей – это аналог метода интервалов решения неравенств с одной переменной при решении неравенств с двумя переменными. Рассмотрим подробно все шаги решения методом областей решения следующей задачи.

Задача 1 В координатной плоскости переменных x и p изобразить множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют не- равенству ( p ¯ x 2 )(p+x ¯ 2)<0 Решение:

Шаг 1 Построение границ. Д ля выполнения конкретной ситуации необходимо найти общие точки параболы и прямой или до- казать, что они не существуют. Т.е в данном случае решить систему уравнений. О чевидно что данная система имеет два решения, т.е. вся плоскость делится на пять частей.

Шаг 2. Определение знака в областях Существует два способа определения знака множителя (или всего произведения) : Способ прямого определения путём вычисле-ния значения множителя для координат выб-ранной точки из данной области; Аналитический способ.

Способ 1-Прямой счёт Парабола разбивает плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Для внутренней части в точке (0;1) множитель р ¯ х 2 =1>0. А для внешней части в точке (1;0) множитель р ¯ х 2 = ¯ 1<0. Следовательно для всей внешней части р ¯ x 2 >0, а для всех точек внешней части р ¯ х 2 <0.

Совершенно аналогично устанавливается знак множителя p+x ¯ 2 в двух полуплоскостях относительно прямой, что также отмечается знаками около прямой.

х р + ¯ + ¯ + ¯ + ¯ 1 4 p=2-x p=x 2

Пример 2 Н айти площадь множества точек (х;у), удовлетворяющих неравенствам

Решение x y 2 1

Поскольку прямая проходит через центр окружности, то данное множество является половиной круга радиуса 2. Следовательно, площадь равна R 2 /2 = 2. Ответ: 2

Пример 3

Замена: x=y 2 ¯ b 2 тогда исходное уравнение принимает вид (y 2 ¯ b 2 ) ¯ (y ¯ b)<0 или

b y ½ y=b y=1-b