Вступ Коротка біографія Байєса. Формула повної ймовірності. Формула Байєса.
Вступ Теорія імовірностей розділ математики, що вивчає закономірності випадкових явищ: випадкові події, випадкові величини, їх функції, властивості і операції над ними.Математичні моделі в теорії ймовірностей описують з деяким ступенем точності випробування (експерименти, спостереження, ви мірювання), результати яких неоднозначно визначаються умовами випробування.математикивипадкові подіївипадкові величинифункціїМатематичні моделіекспериментиспостереженняви мірювання
Томас Баєс (Беєса, англ. Reverend Thomas Bayes) - англійський математик і пресвітеріанский священик, член Лондонського королівського товариства (1742). Народився в 1702 році в Лондоні. Навчався вдома, в 1719 році вступив до Единбурзького університету.Потім Байес допомагав батькові проводити службу, а незабаром, у 1730-их роках, сам став священиком в пресвітеріанської церкви. У 1752 році він вийшов у відставку; помер в 1761 році. Математичні інтереси Байеса відносяться до теорії ймовірностей. Він сформулював і вирішив одну з основних задач цього розділу математики (теорема Байеса). Робота, присвячена цій меті, була опублікована в 1763 році, вже після його смерті.Формула Байеса, що дає можливість оцінити ймовірність подій емпіричними шляхом, відіграє важливу роль у сучасній математичній статистиці та теорії ймовірностей. Інша велика його робота - «Нариси до вирішення проблеми доктрини шансів».Використовується термінологія: байєсівську оцінка рішення, байєсовський підхід до статистичним законам, байесіанізм і т. п.
Нехай події (гіпотези) утворюють повну групу подій і в разі настання кожної з них, наприклад подія може настати з деякою умовною ймовірністю Тоді ймовірність настання події дорівнює сумі добутків імовірності кожної з гіпотез на відповідну умовну ймовірність події : де Формула повної ймовірності: теорема: Нехай події (гіпотези) утворюють повну групу подій і в разі настання кожної з них, наприклад подія може настати з деякою умовною ймовірністю Тоді ймовірність настання події дорівнює сумі добутків імовірності кожної з гіпотез на відповідну умовну ймовірність події : де
Приклад: На склад надійшли деталі, виготовлені на трьох верстатах. На першому верстаті виготовлено 40 % всіх деталей, на другому 35 % і на третьому 25 %, причому на першому верстаті було виготовлено 90 % деталей 1-го ґатунку, на другому 80 % і на третьому 70 %. Яка ймовірність того, що взята випадково деталь виявиться 1-го ґатунку? Введемо такі позначення: деталь виготовлено на першому верстаті, на другому верстаті і на третьому верстаті;подія деталь виявилася 1-го ґатунку. З умови випливає, що Таким чином,
Теорема Бйаєса – одна з основних теорем елементарної теорії ймовірності, яка визначає ймовірність настання події в умовах, коли на основі спостережень відома лише деяка часткова інформація про події. За допомогою формули Байєса можно більш точно обчислювати ймовірність, взявши до уваги як і раніше відому інформацію так і дані нових спостережень. одна з основних теорем елементарної теорії ймовірності, яка визначає ймовірність настання події в умовах, коли на основі спостережень відома лише деяка часткова інформація про події. За допомогою формули Байєса можно більш точно обчислювати ймовірність, взявши до уваги як і раніше відому інформацію так і дані нових спостережень.
Формула Байєса. Формула повної ймовірності дає можливість встановити ймовірність появи події A, не виясняючи, яка з подій групи H викликала подію A. Але якщо подія A відбулася, то є цікавим питання, яка група H і визвала появу події A. Нехай проведено випробування, внаслідок якого відбулася подія A. Як змінились ймовірності гіпотез при цьому? Відповідь на це дає теорема Байєса. Теорема: Для будь-якої випадкової події A, для якої p(A) = 0, і яка може зявитись лише за умови появи однієї з попарно несумісних випадкових подій H 1,Н 2,...,H n, що складають повну групу подій, виконуються рівності: /
Приклад 1: У першому ящику містяться 8 білих і 6 чорних куль, а другому 10 білих і 4 чорних. Випадково вибирають ящик і кулю. Відомо, що вийнята куля чорна. Знайти ймовірність того, що було взято перший ящик. Введемо позначення:B 1 було взято перший ящик;B 2 було взято другий ящик;A при проведенні двох послідовних випробувань з вибору ящика і вибору кулі було взято чорну кулю. Тоді: деталь виготовлено на першому верстаті, на другому верстаті і на третьому верстаті; подія деталь виявилася 1-го ґатунку. З умови випливає, що і Таким чином, Імовірність витягти чорну кулю, якщо взято перший ящик, становить: Імовірність витягти чорну кулю з другого ящика дорівнює: За формулою повної ймовірності знаходимо ймовірність того, що витягнута куля виявилася чорною:
Шукана ймовірність того, що чорну кулю було витягнуто з першого ящика, обчислюється за формулою Баєса:
Приклад 2. Два автомата виробляють одинакові деталі, які поступають на загальний конвеєр. Продуктивність першого автомата вдвічі більша продуктивності другого. Перший автомат виробляє в середньому 60% деталей відмінної якості, а другий – 84%. Навмання взята з конвейєра деталь виявилась відмінної якості. Знайти ймовірність того, що ця деталь вироблена першим автоматом. Розвязування Позначемо через А подію – деталь відмінної якості. Можна зробити два пипущення ( гіпотези ): Н1 – деталь вироблена першим автоматом, причому ( оскільки перший автомат виробляє вдвічі більше деталей, у порівнянні з другим)Р(Н1) = 2/3; Н2 – деталь вироблена другим автоматом, Р(Н2) =1/3.
Умовна ймовірність того, що деталь буде відмінної якості, якщо вона вироблена першим автоматом, Р(А/Н 1 ) = 0,6. Умовна ймовірність того, що деталь буде відмінної якості, якщо вона вироблена другим автоматом, Р(А/Н 2 ) = 0,84. Ймовірність того, що навмання взята деталь виявиться відмінної якості, за фор- мулою повної ймовірності дорівнює Р(А) = Р(А/Н 1 ) Р(Н 1 ) + Р(А/Н 2 ) Р(Н 2 ) = 2/3 0,6 + 1/3 0,84 = 0,68. Шукана ймовірність того, що взята деталь відмінної якості вироблена першим автоматом, за формулою Байєса дорівнює Р(Н 1 /А) =.