Учитель математики Кучеренко А.А

Цель работы: Знакомство с различными способами решения квадратных уравнений. Задачи: Подобрать информацию по теме из письменных источников из сети Интернет Составить план изложения материала по теме Синтезировать информацию по плану Выбрать различные способы решений квадратных уравнений Объект исследования: квадратные уравнения Предмет: способы исследования квадратных уравнений

1. Разложение левой части уравнения на множители. 2. Метод выделения полного квадрата. 3. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. 4. Решение уравнений с использованием теоремы Виета(прямой и обратной). 5. Решение уравнений способом «переброски». 6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения. 7. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Гипотеза: Предполагаю, что квадратные уравнения можно решить несколькими разными способами. Использование какого-либо способа зависит от индивидуальных особенностей человека, от его теоретической подготовки. Методы исследования: Подбор и обработка информации, знакомство с методами решения квадратных уравнений, подготовка дидактического материала по теме для учащихся 8 класса.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Индийский ученый Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах 2 + bх = с, а > 0 В уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта по существу совпадает с нашим. Брахмагупта

Формулы решения квадратных уравнений были впервые изложены в книге, написанной итальянским математиком Леонардо Фибоначчи(XIII в.). х 2 + bх = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид. Леонардо Фибоначчи

Люди, благодаря которым способ решения квадратных уравнений принимает современный вид Жирар НьютонДекарт

. Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоиться величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных,логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

Квадратное уравнение – уравнения вида ax 2 + bx + c = 0, где х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а 0. Если в квадратном уравнении ах 2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов: 1) ах 2 + с = 0, где b 0; 2) ах 2 + bх = 0, где с 0; 3) ах 2 = 0.

Различные способы решения квадратных уравнений Разложение левой части уравнения на множители Метод выделения полного квадрата Решение квадратных уравнений по формуле Решение уравнений с использованием теоремы Виета Графическое решение квадратного уравнения Решения квадратных уравнений способом «переброски» Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки Решение квадратных уравнений с помощью номограммы Геометрический способ решения квадратных уравнений

Произведение равно 0,если один множитель равен 0.

Пример:

ах 2 + bх + с = 0, а 0 в случае положительного дискриминанта, т.е. при b 2 - 4ac >0, уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня. если дискриминант равен нулю, т.е. b 2 - 4ac = 0, то уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет единственный корень, если дискриминант отрицателен, т.е. b 2 - 4ac < 0, уравнение ах 2 + bх + с = 0 не имеет корней.

Франсуа Виет Французский математик, ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры.Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений. Виета часто называют«отцом алгебры» Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета

Пример Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен (q>0),то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p. Если p>0 то оба корня отрицательны,если p < 0 то оба корня положительны. Теорема Виета.

Решения квадратных уравнений способом «переброски» Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, а 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + а bх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0, равносильного данному.

Ответ:x 1 =3 ; x 2 =2,5 Решим уравнение 2 х 2 – 11 х + 15 = 0. Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у 2 – 11y +30 = 0. D=b 2 -4ac=(-11)2-4*30= =1 y 1 =(-b+D)/2a=(-(-11)+1)/2*1=12/2=6 y 2 =(-b-D)/2a=(-(-11)-1)/2*1=10/2=5 x 1 =y 1 /2=6/2=3 x 2 =y 2 /2=5/2=2,5

1. Дано квадратное уравнение где Если (т.е сумма коэффициентов уравнения равна нулю).то 2. если То корни уравнения

1. Примеp 2.Пример

Если в уравнении х 2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х 2 = - px - q. Построим графики зависимости у = х 2 и у = - px - q. График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая. прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения ;

Радиус окружности больше ординаты центра Радиус окружности равен ординате центра Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Решим графически уравнение: x 2 -2x-3=0 Решение: Определим координаты точки центра окружности по формулам: x= -b/2a= -(-2/2*1)=1 y=(a+c)/(2a)=(1-3)/(2*1)= -1 Проведем окружность радиуса SA, где А(0;1) Ответ: x 1 = -1; x 2 =3.

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы. Номограмма- графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывание линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. С помощью номограммы можно решить только приведенные уравнения, общая формула таких уравнений: x 2 +px+q=0

Решим уравнение: x 2 – 9x + 8 = 0 с помощью номограммы. Для этого уравнения номограмма дает корни x 1 = 8, 0 и x 2 = 1, 0 Ответ: x 1 = 8,0; x 2 = 1,0

Значение квадратных уравнений заключается в изяществе и краткости решения задач. В результате применения квадратных уравнений при решении задач обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений. Квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

Брадис В.М. Четырёхзначные математические таблицы для средней школы. –М.,Просвещение,1998. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры.- М., Просвещение,1990. Окунев А.К Квадратичные функции,уравнения и неравенства. М. Просвещение 1972 год. Клюквин М.Ф Алгебра 6-8. Пособия для учащихся 6-8 классов.М. Просвещение 1969 Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. - М., Квант, 4/72. С. 34.