Виконали: Дерій А. І Федотова В.Д Якубівський В.О економічний факультет ІІ курс, 9 група.

Теореми множення ймовірностей: У мовна ймовірність. Т еорема множення для залежних подій. Т еорема множення для незалежних подій. Й мовірність появи хоча б однієї з подій. Теорема додавання ймовірностей: Т еорема додавання для сумісних подій. Т еорема додавання для несумісних подій. Список використаної літератури.

Умовна ймовірність Озн. Умовною ймовірністю називається ймовірність появи події B за умови, що відбулася подія A. Умовна ймовірність позначається Р A (B). Умовна імовірність появи події В за умови, що подія А відбулася, визначається за формулою: Р А (В) = р(АВ) : р(А)

ПРИКЛАД 1. На столі у викладача знаходяться три дипломні роботи магістрів і дві дипломні роботи спеціалістів. Він навмання бере одну роботу (перше випробування), а потім другу (друге випробування). Першою дістали дипломну роботу магістра (подія A ). Знайти ймовірність появи дипломної роботи магістра (подія B) у другому випробуванні, якщо першу дипломну перед другим випробуванням : а) повернули назад; б) не повернули назад.

Розвязання: а) При поверненні дипломної роботи магістра на стіл робіт знову буде три, що в загальній кількості становить пять. Умова не змінилась, тому подія B не залежить від події A : Р(B)= 3/5. б) Взяту дипломну роботу зі столу не повертають, тому там буде чотири роботи, з яких дві належать магістрам. Умова змінилась, тому поява події B залежить від появи події A. Маємо умовну ймовірність: Р A (B) = 2/4=1/2. ЗМІСТ

Теорема множення для залежних подій. Озн. Випадкові події А і В називаються залежними, якщо поява однієї з них (А або В) впливає на імовірність появи іншої. Теорема 1. Ймовірність сумісної появи двох випадкових подій А і В дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другої за умови, що перша подія відбулася: Р(АВ) = Р(А). Р А (В)=Р(В). Р В (А)

ПРИКЛАД 2 Біля деканату знаходяться 15 студентів. Із них 9 відмінників, а решта двієчники. Заступник декана викликає до себе по- одному студенту. Через деякий час у кабінеті опинилося 3 студенти. Обчислити ймовірність появи таких випадкових подій: а) три студенти виявилися відмінниками (подія А); б) усі три виявилися двієчниками (подія В);

Розвязання: Подія А – у кабінеті відмінник, подія В –двієчник. Р(А 1 ) = 9/15; Р(А 2 ) = 8/14; Р(А 3 ) = 7/13. Р(В 1 ) = 6/15; Р(В 2 ) = 5/14; Р(В 3 ) = 4/13. а) за умовою всі 3 студенти, що знаходяться в кабінеті є відмінниками, тому: Р(А) = Р(А 1. А 2. А 3 ) = (9/15). (8/14). (7/13) = 12/65. б) за умовою всі 3 студенти, що знаходяться в кабінеті є двієчниками, тому: Р(В) = Р(В 1. В 2. В 3 ) = (6/15). (5/14). (4/13) = 6/91. ЗМІСТ

Теорема множення для незалежних подій. Озн. Випадкові події А і В називаються незалежними, якщо поява однієї з них (А або В) не впливає на імовірність появи іншої. Теорема 2. Ймовірність добутку незалежних подій (одночасної появи) дорівнює добутку ймовірностей цих подій: Р(AB) = Р(A). Р(B).

ПРИКЛАД 3 У Районну Державну Адміністрацію одночасно здано два звіта, щодо роботи підприємств. Ймовірність наявності помилки в звіті дорівнює 0,1. Знайти ймовірність того, що помилки не було допущено ні в одному з двох звітів.

Розвязання: Якщо ймовірність поломки дорівнює Р(А)=0,1, то ймовірність безпомилкового звіту Р(Ā)=1 - 0,1 = 0,9. Помилка в звіті може бути допущена незалежно одна від одної, тому за теоремою множення маємо: Р(AB)=Р(A). Р(B)=0,9. 0,9=0,81.

Ймовірність появи хоча б однієї з подій. Ймовірність появи хоча б однієї з незалежних у сукупності подій А 1, А 2,..., А n дорівнює: Р(А)=1–Р(Ā 1 ). Р(Ā 2 )..... р(Ā n ), де Р(Ā i ) – ймовірність протилежних подій, Р(А) = Р(А 1 +А А n ).

ПРИКЛАД 4 Вася та Коля завжди тікають з пар. Їх попередили, що з наступної тікати не бажано. Ймовірність того що Вася (А 1 ) втече дорівнює 0,9, а Коля (А 2 ) - 0,7. Яка ймовірність того, що хоча б один із них втече.

Розвязання: Ймовірність того що Вася втече: Р(А 1 )=0,1, а не втече: Р(Ā 1 )=1-0,1=0,9. Ймовірність того що Коля втече : Р(А 2 )=0,1, а не втече: Р(Ā 2 )=1-0,1=0,9. Ймовірність того, що хоча б один із них втече дорівнює: Р(Ā 1 Ā 2 )=1–0,9. 0,7=0,37.

Теорема додавання для сумісних подій. Озн. Подіі А і В називаються сумісними, якщо поява однієї із них не виключає можливість появи іншої. Теорема: Якщо випадкові події A і B сумісні, то: Р(A+B) = Р(A)+Р(B)-Р(AB).

ПРИКЛАД 5 Щоб здати іспит Гапка підготувала 80% білетів, а Параска – 90% білетів. Знайти ймовірність складання іспиту однієї із студенток.

Розвязання: Згідно умови: Р(А)=0,8, а Р(В)=0,9. Так як події є сумісними, то ймовірність складання іспиту: Р(А+В)=0,8+0,9-0,8. 0,9=0,98.

Теорема додавання для несумісних подій Озн. Подія А і В називаються несумісними, якщо поява однієї із них виключає можливість появи іншої. Теорема. Якщо випадкові події А і В несумісні (АВ=Ø), то імовірність появи однієї із них дорівнює сумі ймовірностей цих подій: Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Сума ймовірностей попарно несумісних подій, що утворюють повну групу дорівнює 1.

ПРИКЛАД 6 Є 9 пронумерованих звітів, відповідно від 1 до 9. Навмання вибирають один звіт. Подія А – що номер звіту кратний 2, подія В – кратний 5. Яка ймовірність, що номер вибраного звіту кратний або 2 або 5?

Розвязання: Нехай подія А – вибраний звіт за номером кратним 2: А= {2, 4, 6, 8}; Р(А)=4/9. Подія В – вибраний звіт за номером кратним 5: В = {5}; Р(В)=1/9. Так як АВ=Ø, то Р(А+В) = 4/9 + 1/9 = 5/9.

1. «Теорія ймовірностей» Шевченко Р.Л., Ревицька У.С. Розділ ІІ. § 5–7. 2. «Теорія ймовірностей і математична статистика» Частина 1, В.І Жлуктенко, С.І Наконечний,Тема 2 § 1–4.