Дослідницька робота учениці 10-го класу Солтисюк Юлії

Легко розвязати таку нову задачу, яка схожа на розвязану раніше. Однак задачі з параметрами часто не схожі одна на одну і за аналогією їх розвязувати не можна. Розвязування задач з параметрами розвиває абстрактне мислення, спонукає до пошукової діяльності, формує навички аналізу. Це важливо для математичного розвитку особистості – якості, що застосовується під час розвязування прикладних задач з фізики, інформатики, економіки тощо.

Параметр (від грецького - той, що відміряє) - величина, значення якої слугують для встановлення відмінності між елементами деякої множини. Якщо в рівняння (нерівність, систему рівнянь, систему нерівностей) крім невідомих величин, входять числа, що позначені буквами, які хоч і не вказані, але вважаються відомими та заданими на деякій числовій множині, то вони називаються параметрами.

Лінійні рівняння з параметрами (7 клас) Рівняння виду ax+b=0, де a i b - сталі коефіцієнти, називається лінійним відносно невідомого x. ax + b = 0 ax = - b

Лінійні нерівності з параметрами ( 8клас) Кожна з нерівностей виду ax >b, ax< b, ax b або ax b, де a i b - дійсні числа або функції від параметрів, x - невідома, називається лінійною нерівністю з невідомим x. ax > b

Квадратні рівняння з параметрами Рівняння виду ax 2 +bx+с=0, де a 0, b і с - сталі коефіцієнти або функції від параметрів, x - невідома, називається квадратним рівнянням з параметрами х у a > 0 вітки параболи вгору a < 0 вітки параболи донизу

Характеристики графіка х у с > 0 Перетин осі Оу в точці з додатною ординатою с < 0 Перетин осі Оу в точці з відємною ординатою

х у Координати вершини x0x0 y0y0

х у Координати вершини x0x0 y0y0

Графічний Аналітичний Графічно-аналітичний Розвязати рівняння з параметрами означає знайти всі розвязки цього рівняння для кожної допустимої системи значень параметрів або вказати при яких значеннях параметра рівняння розвязків не має.

Аналітичний спосіб Приклад 1 При яких значеннях параметра а рівняння (а 2 -2а-3)х 2 - (а+1)х+5=0 має єдиний розвязок? 1. Якщо а 2 -2а-3 = 0, то ми дістаємо лінійне рівняння х(а+1)=5. При а = 3 х = 1,25 При а = -1 – розвязків не має. 2. При а -1, а 3 дискримінант D має дорівнювати нулю, тобто D= (a+1) 2 -20(a 2 -2a-3) =0 19a a – 61 = 0, Це можливо при а= -1 або а= 61/19 Але при а = -1 – розвязків не має. Відповідь а=3, а=

Графічний спосіб Приклад 2 Скільки розвязків має рівняння |x 2 -3|х|- 4| = a залежно від параметра а? Побудуємо графіки функцій у = |x 2 -3|х|- 4| та у = a у системі координат (х,у) у = |x 2 -3|х|- 4| З побудови бачимо: 1) якщо a < 0, розвязків немає у = a, a<0 2) якщо a = 0, має 2 розвязки у = a, a=0 3) якщо 0< a<4, має 4 розвязки у = a,0< a<4 4) якщо a=4, має 5 розвязківу = a, a=4

Графічний спосіб Приклад 2 Скільки розвязків має рівняння |x 2 -3|х|- 4| = a залежно від параметра а? Побудуємо графіки функцій у = |x 2 -3|х|- 4| та у = a у системі координат (х,у) у = |x 2 -3|х|- 4| З побудови бачимо: 1) якщо a < 0, розвязків немає у = a, a>6,25 2) якщо a = 0, має 2 розвязки у = a, a=6,25 3) якщо 0< a<4, має 4 розвязки 4) якщо a=4, має 5 розвязків 5) якщо 4< a<6,25, має 6 розвязків у = a, 4< a<6,25 6) якщо a=6,25, має 4 розвязки 7) якщо a>6,25, має 2 розвязки

Приклад 3 Для яких значень параметрів а та b система рівнянь має один розвязок? Графічно-аналітичний спосіб Графіком першого рівняння є коло радіусом 4 і центром у точці (0;0) Графіками другого рівняння є кола з центрами в точках (a; b) і радіусами 1. Для того, щоб дана система мала один розвязок, кола повинні мати зовнішній або внутрішній дотик.

Приклад 3 Для яких значень параметрів а та b система рівнянь має один розвязок? Графічно-аналітичний спосіб Геометричним місцем центрів кіл, що задовільняють умову задачі, є два концентричних кола з центрами в точці (0;0) і радіусами 3 і 5. Тому дана система рівнянь має один розвязок для всіх значень a і b, що задовільняють сукупність:

Приклад 3 Для яких значень параметрів а та b система рівнянь має один розвязок? Графічно-аналітичний спосіб Система має один розвязок для всіх значень a і b таких, що :

= 48

Програма DG (Динамічна геометрія) – ідеальне середовище для дослідження побудов за допомогою параметричного представлення функцій

Людина хотіла б володіти таким методом, який би давав можливість розвязати будь-яку задачу. Над пошуком такого універсального методу міркував Рене Декарт, чіткіше ідею про досконалий метод сформулював Г. Лейбніц. Однак пошуки універсального, досконалого методу дали не більший ефект, ніж пошуки філософського каменя, який перетворює неблагородні метали в золото, - писав Д. Пойя. Метою моєї роботи було дещо скромніше бажання продемонструвати три основні способи розвязування задач з параметрами та переконати інших, що параметрами можна оперувати як числами, застосовуючи їх фіксованість, а з іншого боку – досліджувати їх ступінь свободи, тобто можливість змінюватись в межах заданих формул.