Б и н о м бальные к о э ф ф и ц и е н т ы Считай несчастным тот день иль час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию. Ян Амос Коменский

Бином Ньютона. Бином (лет. bis два, nomen - имя) или двучлен частный случай многочлена (полинома), который состоит из двух слагаемых одночленов (мономов). Например: a + b, a b, a 2 + b 2, 3b 4b 3

Степени суммы двух чисел: Составим таблицу из коэффициентов в записанных суммах

Треугольник Паскаля Составленная таблица получила название 5-я строка (n = 4) получается так: 1, 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, 1 n = 0; 1 n = 1; 1 1 n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; n = 6; n = 7;

Разложение бинома с помощью треугольника Паскаля. Пример 1 Коэффициенты 7 строки: 1; 7; 21; 35; 35; 21; 7; 1

Пример 2 Пример 3 Коэффициенты 7 строки: 1; 7; 21; 35; 35; 21; 7; 1 Коэффициенты 4 строки: 1; 4; 6; 4; 1

Биномиальные коэффициенты В основе построения треугольника Паскаля лежит свойство сочетаний Поэтому коэффициенты разложения степени бинома можно записать с помощью числа сочетаний

Степени суммы двух чисел: Заметим, что и Аналогично: и т. д.

Правило Паскаля: Биноминальные коэффициенты:

Бином Ньютона: Бином Ньютона – формула, выражающая целую положительную степень суммы двух слагаемых (двучлена, бинома) через степени этих слагаемых. Частными случаями бинома Ньютона являются формулы квадрата и куба суммы двух слагаемых a и b

Применение формулы бинома Ньютона Пример 4

Блез Паскаль и его треугольник. Справа изображено несколько строк числового треугольника, образованного по следующему правилу: по краям каждой строки стоят единицы, а каждое из остальных чисел равно сумме двух стоящих над ним чисел предыдущей строки. В такой форме треугольник приведен в «Трактате об арифметическом треугольнике» французского математика Б.Паскаля ( ), опубликованном в 1665 году уже после смерти автора. Несколько иные варианты этой числовой таблицы встречались столетием раньше у итальянского математика Н.Тартальи, а за несколько веков до этого у среднеазиатского ученого и поэта Омара Хайяма, некоторых китайских и индийских ученых.

Исаак Ньютон В г.г. И.Ньютон установил, что формула, выражающая степень двучлена в виде суммы одночленов, обобщается на случай произвольных (дробных и отрицательных) показателей Бином Ньютона:

Бином Ньютона в художественной литературе Бином Ньютона появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идет о чем-либо сложном. В рассказе А. Конан Дойля «Последнее дело Холмса» Холмс говорит о математике профессоре Мориарти: «Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая будущность». Знаменита цитата из «Мастера и Маргариты» М. А. Булгакова: «Подумаешь, бином Ньютона!».