Квадратична функція та її графік

Практичне застосування квадратичної функції Якщо, наприклад, x xx x – сторона квадрата, а y – його площа, то y yy y = x2. Якщо x xx x – сторона куба, а y yy y – його об'єм, то y yy y = x3. На цьому уроці ми розглянемо функцію y yy y = x2 і побудуємо її графік

Означення: Функція виду y yy y=ax2 +bx+c, де х – аргумент і а аа а 0 називається квадратичною, а аа а – перший коефіцієнт, b – другий коефіцієнт, с сс с – вільний член. y х у=ax 2 Графіком квадратичної функції є п пп парабола

Розміщення графіка функції 1.Необхідно знайти розміщення в вв вершини параболи точку А АА А(m;n); 2. Необхідно з'ясувати вгору чи вниз будуть направлені вітки параболи; 3. Необхідно знайти н нн нулі функції, тобто де графік функції буде перетинатись з віссю абсцис х. 4. Необхідно з'ясувати де в Декартові системі координат к кк квадратична функція буде набувати додатних (+) і від'ємних (-) значень.

Вершина параболи Для того, щоб знайти вершину параболи, необхідно скористатись наступними формулами Точка А АА А(m;n) – в вв вершина параболи y х А(m;n) B(m;n) а<0 а>0

Вісь симетрії Так як квадратична функція п пп парна функція, то її графік буде симетричний відносно вісі симетрії. В ВВ Вісь симетрії проходить через вершину параболи. y х А(m;n) y х А(m;n) Вісь симетрії параболи y = m а>0 а<0

Графік квадратичної функції – п пп парабола, вітки якої направлені в вв вгору, якщо а аа а>0 y х і в вв вниз, коли а аа а<0 y х Направлення віток параболи а>0 а<0

Розташування віток параболи В залежності від абсолютної величини а – першого коефіцієнта, вітки п пп параболи будуть п пп пологими (0<a<1) або с сс стислими ( (( (a>1) відносно вісі симетрії 0<а<1 y х а>1 y х y = x2 y = ½*x2 y = 1/3*x2 y = ¼*x2 y = x2 y = 2x2 y = 3x2 y = 4x2 y = ¼*x2

Розташування віток параболи y х y х <а<0а<-1 y =- x2y =- ½x2 y =- 1/3x2 y = -¼x2 y = -x2 y = -2x2 y = -3x2 y = -4x2

Зростання і спадання графіка функції. В залежності від значення а аа а – першого коефіцієнту, графік квадратичної функції може спочатку с сс спадати, а потім з зз зростати на всій області визначення D DD D(x), або навпаки зростати, а потім с сс спадати y х а>0 y х а<0

Вершина параболи Але в вв вершина параболи точка А АА А(m;n) не завжди буде знаходитись в точці О ОО О(0;0): це буде залежати від розміщення графіка функції. Графік функції буде розміщуватись по різному і це залежить від багатьох факторів. y х y х y х А(m;n) А(m;n) А(m;n) а>0а<0а>0

Нулі функції Щоб знайти точки перетину п пп параболи з віссю х, необхідно прирівняти квадратний тричлен до 0(нуля), розв'язати квадратне рівняння і знайти його корені. ax2+bx+c=0 D=b2-4ac Якщо D DD D>0,то ми будемо мати 2 дійсних-різних корені х1=х1= ; х 2 =

Графік функції буде розміщуватись так. y х х1х1х1х1 х2х2х2х2 y х х1х1х1х1 х2х2х2х2 графік функції двічі перетинає вісь х а>0а<0

Якщо D DD D=0, то ми матимемо 2 дійсних-рівних корені х 1,2 = графік функції тільки в одній точці перетинає вісь х (дотикається до вісі х) і точка дотику буде в вершині параболи y х А(m;n) y х А(m;n) а>0а<0

Якщо D DD D<0, то дійсних коренів квадратний тричлен не матиме, корені будуть комплексні-спряжені, графік функції не перетинає вісь х в жодній точці y х y х а>0 а<0

Квадратична функція набуває додатних і від'ємних значень в залежності від а аа а та D DD D якщо a aa a>0 якщо D DD D>0 якщо D=0 якщо D<0 y х0 х1х y х0 y х0 х1,

Квадратична функція набуває додатних і від'ємних значень в залежності від а аа а та D DD D якщо a aa a<0 якщо D DD D>0 якщо D=0 якщо D<0 y х0 y х0 y х х1 х2 х1,2

Розглянемо приклад Нехай нам задана функція y=x 2 +4x-5. Необхідно побудувати її графік. 1.Знайдемо вершину п пп параболи точку А АА А(m;n); 2.Знайдемо н нн нулі функції (точки перетину з віссю 0х); 3.Вгору чи вниз будуть напрямлені вітки параболи; 4.Знайдемо в вв вісь симетрії параболи; 5.Знайдемо на яких проміжках функція з зз зростає і спадає.

y х m = -2; n = -9 A( -2;-9) х 1 = -5х 2 = -1 Вершина параболи Нулі функції Вісь симетрії у = -2 Функція спадає Функція зростає н нн на проміжку (-;-2) на проміжку (-2;+) А(-2;-9) Вітки параболи напрямлені вгору так як a>0 y=x 2 +4x

Правильні варіанти відповідей АБВГ 1 а 2 зсувом вгору на 7 одиниць 3 х 1 = - 3; х 2 = b= – 4 АБВГ 1 б 2 зсувом вниз на 2 одиниці 3 х 1 =9; х 2 = ні АБВГ 1 б 2 зсувом вниз на 4 одиниці 3 х 1 = –11; х 2 =1 4 b= – 5 АБВГ 1 в 2 зсувом вниз на 1 одиницю 3 х 1 = 8; х 2 = так