Проект изучения темы «Первообразная и интеграл» Выполнила: Ефимова Е.В. Учитель математики и информатики МБОУ СОШ 91

Учебные задачи изучения темы: Ввести действие, обратное действию дифференцирования функции по известной схеме:1)название, 2)определение, 3) свойства. Ввести и изучить понятие определенного интеграла, математической модели решения конкретных практических задач: а) О площади криволинейной трапеции; б) О массе стержня; в) О перемещении точки; Расширить, углубить, систематизировать знания учащихся о способах вычисления площадей фигур, о классе фигур, площади которых можно вычислять с помощью формулы Ньютона – Лейбница; Выяснить возможности применения интеграла для решения практических задач как математики, так и различных областей науки.

Диагностируемые цели: по окончании изучения темы ученик: Знает: -определение первообразной функции на данном промежутке и действия интегрирования; -вид всех первообразных основных элементарных функций; -правила нахождения первообразных; -определение криволинейной трапеции; -определение интеграла; -происхождение термина и обозначение интеграла; -формулу Ньютона – Лейбница; -формулу вычисления площади криволинейной трапеции; -некоторые типы практических задач, моделями которых являются дифференциальные уравнения.

- находить все первообразные данной функции и одну первообразную удовлетворяющую заданному начальному условию, пользуясь определением, таблицей первообразных и правилами интегрирования; - восстанавливать функцию по ее первообразной; - доказывать, что функция F(x) является первообразной функции f(x); - вычислять интеграл с помощью формулы Ньютона – Лейбница с применением правил интегрирования; - находить площади фигур с помощью интеграла: а) площади криволинейной трапеции; б) площади фигуры, которую можно разбить на несколько криволинейных трапеций; в) площади фигуры, ограниченной графиками функций снизу и сверху. умеет:

Понимает, что: - действие интегрирования является обратным действием к дифференцированию функции; -таблицу первообразных можно получить из таблицы производных следующим образом: для данной функции с помощью таблицы производных подобрать такую функцию, что ее производная совпадает с данной функцией; -правила интегрирования аналогичны правилам дифференцирования; -таблица первообразных и правила интегрирования доказываются методом дифференцирования; -площадь криволинейной трапеции можно вычислить с помощью интеграла, но значения интеграла от f(x) на отрезке [a,b] не всегда совпадают с площадью криволинейной трапеции, а лишь тогда, когда f(x) на [a,b]; -интеграл может быть любым числом (положительным, отрицательным, равным нулю); -интеграл f(x) на отрезке [a,b] совпадают с площадью криволинейной трапеции только в том случае, если f(x) положительна на отрезке [a,b] (может принимать значения, равные нулю на концах отрезка); -возможности применения интеграла для решения некоторых практических задач.

Правила интегрирования Пусть F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f (x) g (x) на некотором промежутке. Тогда: 1) функция F(x)+/- G(x) является первообразной функции f(x) +/- g(x); 2) функция aF(x) является первообразной функции af(x). 3) если F(x) – первообразная для функции y= f(x), то первообразная для функции y=kx+m служит функция y= 1/k F(kx+m).

Определение криволинейной трапеции: Фигура, ограниченная снизу отрезком [а,b] оси Ох, сверху графиком непрерывной функции y=f(x), принимающей положительные значения, а с боков отрезками прямых x=a и x=b, называется криволинейной трапецией y x a b f (x) S

Выводы: Задания, предложенные в учебнике не представляют собой систему упражнений, т.к. не выполняются многие принципы построения системы упражнений.

1)Принцип полноты состоит в рассмотрении всех видов криволинейной трапеции (стандартный вид и 2 частных вида, когда в одном из концов или обоих концах отрезка [a,b] функция f(x) обращается в нуль). Этот принцип в учебнике не выполнен.

2) Большое количество однотипных задач: нет разнообразия вида функции f(x) (в основном f(x) – степенная функция). 3) Принцип от простого к сложному выдержан только внутри определенного блока задач. Нет ранжирования по сложности между блоками задач, поэтому теряется связь между заданиями, и они представляют набор, а не систему.

Интегрирование Дифференцирование Взаимно обратные действия над функциями Мотивация изучения действия Нахождение скорости, если известен закон изменения пути Установление закона изменения пути, если известен закон изменения скорости Первообразная Производная Аналогия (Основное свойство первообразной) Таблица, правила дифференцирования Таблица, правила интегрирования

Анализ теоретического материала позволяет выделить следующие блоки: І Первообразная ІІ Интеграл ІІІ Площади фигур ІV Интеграл в прикладных задачах

Изображение фигуры Описание фигуры Способ нахождения площади Фигура, ограниченная сверху графиком функции f(x), снизу осью Ох и отрезками прямых х=а, у=в.(Криволинейна трапеция) Фигура, ограниченная сверху и снизу графиками непрерывных функций f(x) и g(x). Метод дополнения Фигура, ограниченная снизу графиком функции f(x), сверху осью Ох и отрезками прямых х=а, у=в. Метод равных фигур Фигура, ограниченная пересекающимися графиками функций f(x) и g(x) осью Ох и отрезками прямых х=а, х=в. Метод разбиения y x a b f (x) S a b x y g (x) S y xab f (x) S S2S2 y x ab S1S1 c g (x) Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла