Функции и их свойства Автор: Семенова Елена Юрьевна y y = f(x) 0 x МОУ СОШ 5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный

Понятие функции Если каждому значению х из некоторого множества чисел поставлено в соответствие число у, то говорят, что на этом множестве задана функция у(х). y = f(x) При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у – зависимой переменной или функцией.

Область определения и множество значений функции Областью определения функции называют множество всех значений, которые может принимать ее аргумент. Обозначается D(y) Множество значений (или область значений) функции –это множество всех значений переменной у. Обозначается E(y)

аналитический (с помощью формулы); графический (с помощью графика); табличный (с помощью таблицы значений); словесный (правило задания функции описывается словами). Способы задания функции:

Свойства функций: монотонность Функцию y = f(x) называют возрастающей на множестве Х, если для любых двух элементов из этого множества, таких, что х 1 < x 2, выполняется условие f(x 1 ) < f(x 2 ). Функцию y = f(x) называют убывающей на множестве Х, если для любых двух элементов из этого множества, таких, что х 1 f(x 2 ). (Функцию называют возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции) (Функцию называют убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции)

Свойства функций: ограниченность Функцию y = f(x) называют ограниченной снизу на множестве Х, если существует число m, такое, что для любого значения х Х, выполняется неравенство f(x) > m. Функцию y = f(x) называют ограниченной сверху на множестве Х, если существует число M, такое, что для любого значения х Х, выполняется неравенство f(x) < M. Если функция ограничена и снизу и сверху, то ее называют ограниченной

Свойства функций: Наибольшее и наименьшее значения функции Число m называют наименьшим значением функции y = f(x) на множестве Х, если: существует число х о Х такое, что f(х o ) = m; для любого значения х Х выполняется неравенство f(x) f(x o ). Число М называют наибольшим значением функции y = f(x) на множестве Х, если: существует число х о Х такое, что f(х o ) = М; для любого значения х Х выполняется неравенство f(x) f(x o ).

Свойства функций: четность или нечетность Функцию y = f(x), х Х называют четной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f(-x) = f(x). Функцию y = f(x), х Х называют нечетной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f( – x) = – f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

График функции Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости (х; у(х)), абсциссы которых равны значениям независимой переменной из области определения этой функции, а ординаты – соответствующим значениям функции. x (абсцисса) (ордината) y y = f(x) 0

Основные элементарные функции, их свойства и графики

Линейная функция y=kx+b Свойства линейной функции y = kx + b: 1.D(f) = (– ; + ). 2.E(f) = (– ; + ). 3. Если b = 0, то функция нечетная. 4.а) Нули функции: (– b/k; 0). б) точка пересечения с Оу: (0; b). 5.а) возрастает, если k > 0; б) убывает, если k < Не ограничена ни снизу, ни сверху. 7. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений. 8. Функция непрерывна на множестве (– ; + ).

x y 0 Линейная функция y=kx+b b y=kx+b

Свойства функции y = k/x: 1.D(f) = (– ; 0) (0; + ). 2.E(f) = (– ; 0) (0; + ). 3. Функция нечетная. 4.а) нули функции: нет. б) точка пересечения с Оу: нет. 4.а) если k < 0, то (– ; 0) и (0; + ) – промежутки возрастания функции; б) если k > 0, то (– ; 0) и (0; + ) – промежутки убывания функции. 5. Не ограничена ни снизу, ни сверху. 6. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений. 7. Функция непрерывна на каждом из промежутков (– ; 0) и (0; + ). Обратная пропорциональность у =у = k x

0x y у =у =k x у =, k < 0 k x у =, k > 0 k x

Свойства функции y = kx 2 при k > 0: 1.D(f) = (– ; + ). 2.E(f) = [0; + ). 3. Функция четная. 4.а) нули функции: (0; 0). б) точка пересечения с Оу: (0; 0). 5.а) [0; + ) – промежуток возрастания функции; б) (– ; 0] – промежуток убывания функции. 6. Ограничена снизу, не ограничена сверху. 7.а) у наим. = 0; б) у наиб. – не существует. 8. Непрерывна на множестве (– ; + ). 9. Выпукла вниз. Квадратичная функция y=kx 2

Свойства функции y = kx 2 при k < 0: 1.D(f) = (– ; + ). 2.E(f) = (– ; 0]. 3. Функция четная. 4.а) нули функции: (0; 0). б) точка пересечения с Оу: (0; 0). 5.а) [0; + ) – промежуток убывания функции; б) (– ; 0] – промежуток возрастания функции. 6. Ограничена сверху, не ограничена снизу. 7.а) у наиб. = 0; б) у наим. – не существует. 8. Непрерывна на множестве (– ; + ). 9. Выпукла вверх. Квадратичная функция y=kx 2

0 x y y=kx 2, k>0 Квадратичная функция y=kx 2 y=kx 2, k<0

1.D(f) = [0; + ). 2.E(f) = [0; + ). 3. Функция ни четная, ни нечетная. 4.а) нули функции: (0; 0). б) точка пересечения с Оу: (0; 0). 5.[0; + ) – промежуток возрастания функции; 6. Ограничена снизу, не ограничена сверху. 7.а) у наим. = 0; б) у наиб. – не существует. 8. Непрерывна на множестве [0; + ). 9. Выпукла вверх. Степенная функция y= x Свойства функции y = x:

0 x y Степенная функция y= x y= x

Свойства кубической функции y = x 3 : 1.D(f) = (– ; + ). 2.E(f) = (– ; + ). 3. Функция нечетная. 4.а) нули функции: (0; 0). б) точка пересечения с Оу: (0; 0). 5. Возрастает на множестве (– ; + ). 6. Не ограничена ни снизу, ни сверху. 7. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений. 8. Функция непрерывна на множестве (– ; + ). Кубическая функция y=x 3

x y 0 y=x 3 Кубическая функция y=x 3

1.D(f) = [0; + ). 2.E(f) = [0; + ). 3. Функция ни четная, ни нечетная. 4.а) Нули функции: (0; 0). б) точка пересечения с Оу: (0; 0). 5.[0; + ) – промежуток возрастания функции; 6. Ограничена снизу, не ограничена сверху. 7.а) у наим. = 0; б) у наиб. – не существует. 8. Непрерывна на множестве [0; + ). 9. Выпукла вверх. Степенная функция y= x, х 0 п Свойства функции y = x, х 0: n

0 x y y= x п Степенная функция y= x, х 0 п

1.D(f) = (– ; + ). 2.E(f) = (– ; + ). 3. Функция нечетная. 4.а) Нули функции: (0; 0). б) точка пересечения с Оу: (0; 0). 5. Возрастает на множестве (– ; + ). 6. Не ограничена ни снизу, ни сверху. 7. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений. 8. Функция непрерывна на множестве (– ; + ). Степенная функция y= x, п п - нечетное Свойства функции y = x, n = 2k+1: n

x y 0 Степенная функция y= x, п п - нечетное y= x п