Введение в формальные (аксиоматические) системы

Формальные системы - это системы операций над объектами, понимаемыми как последовательность символов (т.е. как слова в фиксированных алфавитах), сами операции также являются операциями над символами

Определяется некоторое счетное множество символов, т.е. множество, элементы которого могут быть взаимно однозначно сопоставлены элементам натурального ряда 1,2,...N, которые называется термами. Имеется другое конечное множество символов, элементы которого называются связками или операциями. Наконец, существует конечное множество вспомогательных символов. Конечные последовательности символов называются выражениями данной системы

Определяется множество формул, или правильно по­ строенных выражений, образующее язык теории. Это мно­ жество задается конструктивными средствами (как прави­ло, индуктивным определением) и, следовательно, перечис­лимо. Обычно оно и разрешимо. Для правильно построенных формул (ППФ) задаются правила их конструирования, т.е. определяется эффективная процедура, с помощью которой по данному выражению выясняется, является ли формула правильно построенной в данной формальной системе (ФС) или нет. Формула, для которой существует такая процедура, называется разрешимой в данной ФС, в противном случае неразрешимой. Иначе говоря, для неразрешимых формул нельзя построить алгоритм выяснения свойства формулы быть теоремой, для этого требуются все новые и новые озарения (изобретательства), не поддающиеся формализации.

Выделяется подмножество формул, называемых акси­омами ФС. Так же как и для ППФ для аксиом должна иметься процедура, позволяющая определить, является ли ППФ аксиомой или нет. Подмножество может быть и бесконечным, во всяком случае, оно должно быть разрешимо.

Задается конечное множество R 1, R,2,.., R k отношений между ППФ, называемых правилами вывода. Должна иметься эффективная процедура, позволяющая для произвольной конечной последовательности ППФ решить, может ли каждый член этой последовательности быть выведен с помощью конечного числа правил вывода. Правило вывода R(F 1,..., F n, G) это вычислимое отношение на множестве формул. Если формулы F 1,..., F n, G находятся в отношении R, то формула G называется непосредственно выводимой из F 1,..., F n по правилу R. Часто правило R(F 1,..., F n, G) записывается в виде (F 1,..., F n )/G. Формулы F 1,..., F n называются посылками правила R, a Gего следствием или заключением.

Выводом формулы В из формул A 1,..., A n называется последовательность формул F 1,..., F m, такая, что F m = B, а любая F i (i = 1,...,m) есть либо аксиома, либо одна из ис­ходных формул A 1,..., A n, либо непосредственно выводима из формул F 1,..., F i-1 (или какого-то их подмножества) по одному из правил вывода. Если существует вывод В из A 1,..., A n, то говорят, что В выводима из A 1,..., A n. Этот факт обозначается так: A 1,...,An В. Формулы A 1,..., A n называются гипотезами или посылками вывода. Переход в выводе от F i-1 к F i называется i-м шагом вывода

Доказательством формулы В в теории Т называется вы­вод В из пустого множества формул, т. е. вывод, в котором в качестве исходных формул используются только аксио­ мы. Формула В, для которой существует доказательство, на­зывается формулой, доказуемой в теории Т, или теоремой теории Т; факт доказуемости В обозначается В. Очевидно, что присоединение формул к гипотезам не на­рушает выводимости. Поэтому если В, то А В, и если A 1,..., A n В, то A 1,..., A n, A n+1 В для любых A и A n+1. По­рядок гипотез в списке несуществен.

Например, если удалось построить вывод В из A 1,..., A n, то элементы последовательности ППФ A 1,..., A n называются посылками вывода (или гипотезами). Сокращенно вывод В из A 1,..., A n записывается в виде A 1,..., A n В, или если Г= A 1,.., A n то Г В. Напомним, что вывод ППФ без использования посылок есть доказательство ППФ В, а сама В – теорема, и это записывается В.

Формальные теории. Основные понятия и определения

Выводимость Пусть F 1,..., F n, G - формулы теории Т, то есть F 1,..., F n, G являются ППФ. Если существует такое правило вывода R, что (F 1,..., F n, G) R, то говорят, что формула G непосредственно выводима из формул F 1,..., F n по правилу вывода R. Обычно этот факт записывают следующим образом:, где формулы F 1,..., F n называются посылками, а формула G – заключением.

Если в теории Т существует вывод формулы G из формул F 1,..., F n, то это записывают следующим образом: F 1,..., F n Т G, где формулы F 1,..., F n называются гипотезами вывода. Если теория Т подразумевается, то ее значение обычно опускают. Если Т G, то формула G называется теоремой теории Т (то есть теорема – это формула, выводимая только из аксиом, без гипотез). Если Г Т G, то Г, Т G, где Г и - любые множества формул (то есть при добавлении лишних гипотез выводимость сохраняется).

Правила вывода делятся на прямые и непрямые. Прямые правила вывода – это правила непосредственного перехода от одних формул к другим, т.е. переход от посылки к заключению. Им сопоставляются определенные шаги формального вывода. Непрямые правила вывода суть правила перехода от одних формальным выводам к другим. Таким правилам соответствуют мета утверждения о преобразованиях одних формальных выводов в другие.

Синтаксис Синтаксисом называется набор правил конструирования ППФ. Семантика Семантикой называется набор правил интерпретации формул. Интерпретация Интерпретацией называется приписывание формуле одного из двух значений истинности: 1 (истинно) или 0 (ложно). Композиционность семантики заключается в том, что приписываемое значение истинности некоторой формулы зависит от значений истинности составляющих высказываний и структуры формулы.

Общезначимость и непротиворечивость Формула называется общезначимой (или тавтологией), если она истинна в любой интерпретации. Формула называется противоречивой, если она ложна в любой интерпретации. Выполнимой называется формула, для которой существует хотя бы одна интерпретация, для которой она истинна. Формула G называется логическим следствием множества формул, если G выполняется в любой модели. Фундаментальная проблема логики, называемая проблемой дедукции, состоит в том, чтобы определить, является ли формула G логическим следствием множества формул Г.

формула А является логическим следствием множества формул Г тогда и только тогда, когда Г А невыполнимо

Полнота, независимость и разрешимость Пусть множество M является моделью формальной теории Т. Формальная теория Т называется полной (или адекватной), если каждому истинному высказыванию M соответствует теорема теории Т. Если для множества (алгебраической системы) M существует формальная полная непротиворечивая теория Т, то M называется аксиоматизируемым (или формализуемым) множеством. Система аксиом (или аксиоматизация) формально непротиворечивой теории Т называется независимой, если никакая из аксиом не выводима из остальных по правилам вывода теории Т.

Еще одна важная характеристика формальной теории – это ее разрешимость. Формальная теория Т называется разрешимой, если существует алгоритм, который для любой формулы языка определяет, является она теоремой в Т или нет. Например, исчисление высказываний разрешимо, а исчисление предикатов неразрешимо. Разрешающий алгоритм для формулы F Исчисления высказываний заключается в вычислении значений F на всех наборах значений ее переменных. Ввиду полноты исчисления высказываний F является его теоремой, если и только если она истинна на всех наборах. Исчисление предикатов неразрешимо. Несмотря на полноту исчисления предикатов, разрешающий алгоритм, связанный с вычислением значений истинности предикатных формул, построить не удается из-за бесконечности предметной области, которая приводит в общем случае к бесконечным таблицам истинности.

Метатеория формальных систем

Интерпретацией формальной теории Т в область интерпретации M называется функция I : M, которая каждой формуле формальной теории Т однозначно сопоставляет некоторое содержательное высказывание относительно объектов множества (алгебраической системы) M. Это высказывание может быть истинным или ложным (или не иметь истинностного значения). Если соответствующее высказывание является истинным, то говорят, что формула выполняется в М.

Интерпретация I называется моделью множества формул, если все формулы этого множества выполняются в интерпретации I. Интерпретация I называется моделью формальной теории Т, если все теоремы этой теории выполняются в интерпретации I (то есть все выводимые формулы оказываются истинными в данной интерпретации). Непротиворечивость. Напомним, что формула называется противоречивой, если она ложна в любой интерпретации. Такое определение противоречивой формулы является семантическим, т.е. связывающим непротиворечивость с истинностью

Формальная теория Т называется семантически непротиворечивой, если ни одна ее теорема не является противоречием. Таким образом, формальная теория пригодна для описания тех множеств (алгебраических систем), которые являются ее моделями. Модель для формальной теории Т существует тогда и только тогда, когда Т семантически непротиворечива. Формальная теория Т называется формально непротиворечивой, если в ней не являются выводимыми одновременно формулы F и F. Теория Т формально непротиворечива тогда и только тогда, когда она семантически непротиворечива.