XXV фестиваль уроков математики Вас приветствует учитель математики и физики 1 кв. категории Алексеева Олимпиада Васильевна

Уравнения в целых числах и методы их решения Тип урока: урок изучения новой темы. Цель урока: образовательные: обобщение и систематизация основных знаний и умений по теме, формирование умения решать уравнения в целых числах; развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, общеучебных умений, умения обобщать; воспитательные: воспитание трудолюбия и математической культуры.

Вопросы 1. Какие числа называются целыми? Натуральные числа, им противоположные числа и 0 называются целыми числами. 2. А что такое уравнение? Уравнение- равенство двух выражений с переменной. 3. Что называется корнем уравнения? Корень уравнения- значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. 4. Что значит решить уравнение? Решить уравнение- это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Устная работа 1. Какое из квадратных уравнений является полным А) 5 х 2 =0 Б) 8-2 х+3 х 2 =0 В) 7 х 2 +1=0 Г) 6 х-х 2 =0 2. Дискриминант квадратного уравнения х 2 +5 х-6=0 равен А) 0 Б) 49 В) 1 Г) Найдите сумму корней уравнения 6 х 2 +7 х+1=0 А) 1 ¹̶ Б) -1 ¹̶ В) - ̶ Г) корней нет 4. Найдите произведение корней уравнения 2 х 2 +3 х-5=0 А) -2,5 Б) -1,5 В) 2,5 Г) корней нет.

Диктант 1. Уравнение вида ах 2 + вх+ с = 0 где а, в, с – заданные числа, ; х – переменная, называется… 2. Полное квадратное уравнение не имеет корней, если D = 3. Квадратное уравнение имеет два корня, если b 2 – 4 ас… 4. Дано уравнение 3 х 2 – 7 х + 4 = 0. Найти D. 5. Если ах 2 + вх + с = 0 квадратное уравнение, то а-… коэффициент, с-… 6. Уравнение х 2 = а, где а < 0, не имеет… 7. Полное квадратное уравнение имеет единственный корень, если b 2 – 4 ас… 8. Уравнение вида ах 2 + с = 0, где а не равно 0, с не равно 0, называют ….квадратным уравнением.

Самопроверка: 1. квадратным 2. меньше 0 3. больше старший или первый и свободный член 6. не имеет корней 7. равно 0 8. Неполным Критерии: 8 – «5», 6-7 –«4», 4-5 – «3».

Диофантовы уравнения уравнения в целых числах - это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами Диофант Александрийский – один из самых своеобразных древнегреческих математиков

Гипотеза нет такого единого алгоритма решения уравнений, который позволил бы решить уравнения в целых числах за конечное число шагов, в основе которых лежат определения и свойства делимости чисел (это доказал в 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич)

Методы решения: способ перебора вариантов; применение алгоритма Евклида; представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей; разложение на множители; метод суммирования коэффициентов; метод переброски коэффициентов; метод выделения полного квадрата; решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной; метод остатков; метод бесконечного спуска

Решить уравнение в целых числах х²-у²=69 (х-у)(х+у)=69 69=1·69=69·1=3·23=23·3=(-1)(-69)=(-69)(-1)=(-3)(-23)=(-23)(-3), учитывая, что х>у, имеем: х-у=1, х-у=3, х+у=69, или х+у=23. Решая данные системы, находим два решения: (35,34) или (13,10). Ответ: (35,34) или (13,10).

Решить в целых числах уравнение x + y = xy. Решение. 1) Перенесем все члены уравнения влево и к обеим частям полученного уравнения прибавим (–1) x + y – xy – 1 = – 1 Сгруппируем первое – четвертое и второе – третье слагаемые и вынесем общие множители, в результате получим уравнение: (x-1)+(у-ху)=-1 (х-1)+у(1-х)=-1 (х-1)(1-у)=-1 (x - 1)(y - 1) = 1 2) Произведение двух целых чисел может равняться 1 в том и только в том случае, когда оба этих числа равны или 1, или (–1).

3) Записав соответствующие системы уравнений и решив их, получим решение исходного уравнения; 1. x-1=1 2. x-1=-1 y-1=1 y-1=-1 x=1+1 x=-1+1 y=1+1 y=-1+1 x=2 x=0 y=2 y=0 Ответ: (0,0) и (2,2).

ДО по математике (x+2010)(x+2011)(x+2012)=24 Пусть х+2010=у, тогда х+2011=у+1; х+2012=у+2 24=2×3×4=…. у=2 у+1=3 у+2=4 Ответ.х=-2008 x 3 - x=2008, х(х-1)(х+1)=2008. Нет решения

2 способа решения уравнения 15 2x x 2 = 0 1 способ: по формуле корней кв. уравнения 15 2x x 2 = 0 x 2 2x+15 = 0 x 2 + 2x - 15 = 0- стандартный вид a = 1; b = 2; c =- 15; Д = · 1 ·(- 15) = 64>0 уравнение имеет два корня:-5 и 3. Ответ.-5; 3.

2 способ: разложение на множители x 2 + 2x =15, х(х+2)=15. 15=1×15=15×1=3×5=5×3=-1×(-15)=-15×(-1)=-3×(5)= =-5×(-3) x=1 x=15 x=3 x=5 x=-1 x=-15 x=-3 x=-5 x+2=15 x+2=1 x+2=5 x+2=3 x+2=-15 x+2=-1 x+2=-5 x+2=-3 x=1 x=15 x=3 x=5 x=-1 x=-15 x=-3 x=-5 3=15 17=1 5=5 7=5 1= =-1 -1=-5 -3=-3. Ответ. -5; 3.

Свойства коэффициентов: Если коэффициенты квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 (a 0) удовлетворяют условию a + b + c = 0, то корни такого квадратного уравнения равны: x¹ = 1, x² =c/a. Если же - такому условию: a - b + c = 0, то корни таковы: x¹ = -1, x² = - c/a. х² + 6 х - 7= 0, x¹ = 1, x² =c/a =-7/1=-7

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ 1. Проверить, каким является квадратное уравнение полным или неполным. 2. Если уравнение неполное, то решаем, применяя свойства коэффициентов или правила нахождения корня уравнения, определив какому из трёх случаев (ax² = 0, ax² + bx=0 или ax² + c=0) соответствует данное уравнение. 3. Если уравнение полное, то решаем а) либо по свойствам коэффициентов, б) либо по теореме Виета, в) либо применяя формулу дискриминанта и формулы корней квадратного уравнения, г) либо разложением на множители.

Домашнее задание Доказать, что уравнение х 2 – 5 у 2 = 3 не имеет решений в целых числах. Решить уравнение в целых числах: х ху - 11 = 0.

Сегодняшний урок для тех, кто любит математику и находится в поиске наиболее рациональных способов решения уравнений

Выводы Общего способа быть не может, не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения. Поэтому мы должны для каждого уравнения выбирать собственный метод решения, в основе которых лежат определения и свойства делимости чисел

Решите уравнения. Найдите соответствующую вашему ответу – букву в таблице. Расшифровав пентаграмму, вы узнаете название деревни, где функционировала школа, воспитавшая известных чувашских деятелей культуры и искусства. 1) х ² = 0 2) х² - х = 0 3) х² + х = 0 4) х² + 2 = 0 5) х² - 4 = 0 6) х² - 9 = 0 7) х² - 10 = 0

Пентаграмма КОКРПОВЕСО 0;-10; 10; -1ø00; 1±2±10±30; 1

2014 год-год культуры Сцена из оперы «Нарспи» Собирательница чувашских песен - Ираида Григорьевна Вдовина Поэтесса Любовь Васильевна Мартьянова Заслуженный деятель искусств Чувашской АССР (1945) Заслуженный деятель искусств РСФСР (1968) Народный артист РСФСР (1974) , Григорий Хирбю Народный артист Чувашской Республики Иванов Иван Иванович

Рефлексия

Спасибо за внимание! Если верный конь, поранив ногу, Вдруг споткнулся, а потом- опять. Не вини его, вини дорогу. Не забудь коня благодарить. Расул Гамзатов.