Готовимся к ЕГЭ. Задача С2. Угол между прямыми. МБОУ г. Мурманска гимназия 3 Шахова Татьяна Александровна

Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых. Определение. b а α β

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся. Поэтапно – вычислительный метод. b Пример а α Построить угол с сонаправленными сторонами. Вычислить его величину как элемент треугольника, если удается удается включить его в некоторый треугольник в качестве одного из его углов.

) Ввести удобную систему координат. Векторно - координатный метод. Пример 2) Определить координаты точек А, В, С, D принадлежащим прямым. 3) Определить координаты направляющих векторов 4) Косинус соответствующего угла можно определить по формуле: А В С D Назад shah.ucoz.ru/load/egeh/egeh_s2/koordinatnyj_metod_kljuchevye _zadachi/

В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти угол между прямыми A 1 D и D 1 E, где E – середина ребра CC 1. А С D D1D1 В1В1 F В Д. п.: F – середина ВВ 1, Решение: (диагональ единичного квадрата). А1А1 С E Для упрощения вычислений ребро куба примем за единицу. тогда ED 1 FA 1. Из треугольника BFD Найдем стороны треугольника FA 1 D

В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти угол между прямыми A 1 D и D 1 E, где E – середина ребра CC 1. А С D D1D1 В1В1 F В Решение: А1А1 С E D F А1А1 Назад

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти угол между прямыми АЕ и DF, где Е и F – точки, распо-ложенные на рёбрах CD и D 1 C 1 так, что DE=1/3DC, C 1 F=1/3C 1 C. А С D D1D1 В1В1 F В Решение: А1А1 С E X Z Y Введем прямоугольную систему координат Тогда:

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти угол между прямыми АЕ и DF, где Е и F – точки, распо-ложенные на рёбрах CD и D 1 C 1 так, что DE=1/3DC, C 1 F=1/3C 1 C. А С D D1D1 В1В1 F В Решение: А1А1 С E Назад X Z Y ?

2) Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды PABCD равны между собой. Найдите угол между прямыми РН и ВМ, если отрезок РН высота данной пирамиды, точка М середина ее бокового ребра АР Тренировочные упражнения Решение 3) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, точка K – середина ребра SD. Найти косинус угла между прямыми AS и FK. Решение 1)Найти расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба, длина ребра которого равна 1.

Тренировочные упражнения Решение 4) В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, ребро основания равно 1, боковое ребро равно 2. Найти угол между прямыми AС 1 и B 1 C (поэтапно – вычислительный метод). 5) В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, ребро основания равно 1, боковое ребро равно 2. Найти угол между прямыми AС 1 и B 1 C (векторно - координатный метод).

B 1) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между D 1 E и DB 1. Титова Мария A A1A1 B1B1 C C1C1 D1D1 D E F1F1 F E1E1 DB найдем из треугольника DCB D 1 EAB 1 Решение: (большая диагональ правильного шестиугольника). DB 1 найдем из треугольника DB 1 B Задачи Найдем стороны треугольника FA 1 D

B 1) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между D 1 E и DB 1. Титова Мария A A1A1 B1B1 C C1C1 D1D1 D E F1F1 F E1E1 Решение: Рассмотрим треугольник DB 1 A A D B1B1 Задачи

2) Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды PABCD равны между собой. Найдите угол между прямыми РН и ВМ, если отрезок РН высота данной пирамиды, точка М середина ее бокового ребра АР. Тюрина Анастасия Решение: Для упрощения вычислений ребро пирамиды примем за единицу. Искомый угол можно найти из прямоугольного треугольника MNB. Для этого найдем две его стороны. В треугольнике APH АН= Задачи

2) Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды PABCD равны между собой. Найдите угол между прямыми РН и ВМ, если отрезок РН высота данной пирамиды, точка М середина ее бокового ребра АР. Тюрина Анастасия Решение: В равностороннем треугольнике MPB: Рассмотрим треугольник MNB Задачи

3) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, точка K – середина ребра SD. Найти косинус угла между прямыми AS и FK А ВС D ЕF S K Решение: Ребро АS и точка K лежат в плоскости (ASD) O КО – средняя линия треугольника ASD => КО AS Искомый угол можно найти из треугольника FKO. Задачи

3) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, точка K – середина ребра SD. Найти косинус угла между прямыми AS и FK А ВС D ЕF S K Решение: O Из треугольника FED FK – медиана треугольника FSD => Задачи

3) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, точка K – середина ребра SD. Найти косинус угла между прямыми AS и FK А ВС D ЕF S K Решение: O Из треугольника FKO Задачи

А В С D Решение: Д. п.: 4) В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, ребро основания равно 1, боковое ребро равно 2. Найти угол между прямыми AС 1 и B 1 C (поэтапно – вычислительный метод). А1А1 С1С1 В1В1 D1D1 CD 1 AC 1 Искомый угол можно найти из треугольника CB 1 D 1. Из треугольника CC 1 D 1 : Из треугольника B 1 C 1 D 1 : Задачи

А В С D Решение: 4) В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, ребро основания равно 1, боковое ребро равно 2. Найти угол между прямыми AС 1 и B 1 C (поэтапно – вычислительный метод). А1А1 С1С1 В1В1 D1D1 В треугольнике CB 1 D 1 : Задачи

Решение: 5) В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, ребро основания равно 1, боковое ребро равно 2. Найти угол между прямыми AС 1 и B 1 C (векторно - координатный метод). А В С А1А1 С1С1 В1В1 Введем прямоугольную систему координат Тогда: X Z Y А X Y В С H Задачи

Решение: 5) В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, ребро основания равно 1, боковое ребро равно 2. Найти угол между прямыми AС 1 и B 1 C (векторно - координатный метод). Задачи А В С А1А1 С1С1 В1В1 Тогда: X Z Y

Решение: 5) В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, ребро основания равно 1, боковое ребро равно 2. Найти угол между прямыми AС 1 и B 1 C (векторно - координатный метод). Задачи ?

При создании презентации использовано пособие: