ТЕМА ДОПОВІДІ: ПОБУДОВА ТА ЯКІСНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ МОДЕЛІ У ВИГЛЯДІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ Автори: Трач Євгеній Анатолійович Чухно Михайло Васильович Науковий керівник: Михалевич Володимир Маркусович

Мета : розробка методики якісного дослідження функцій, що задані диференціальним рівнянням першого порядку, яке розв язане відносно першої похідної.

Судити про характер і властивості функції за її диференціальними властивостями, тобто за властивостями її похідних, записаних у вигляді рівностей, часто можна, провівши так званий якісний аналіз відповідного диференціального рівняння, що ґрунтується на геометричній теорії диференціальних рівнянь. З огляду на актуальність даної проблеми в математичному моделюванні реальних процесів та в плані методики реалізації прикладної спрямованості вивчення диференціальних рівнянь, насамперед у педагогічних та інших вищих навчальних закладах, зробимо спробу показати певні аналогії та продемонструвати деякі підходи до дослідження функцій, заданих звичайними диференціальними рівняннями першого порядку, розв язаними відносно похідної. Ці елементи якісного аналізу можуть слугувати тоді особливо корисні у випадках, коли [1]: ДР не інтегрується в квадратурах ; ДР не інтегрується в елементарних функціях ; Загальний розв язок ДР не може бути досліджений за звичною схемою через складність аналітичного виразу, що його подає.

Надалі розглянемо задачу розробки та аналізу повної схеми дослідження функцій, заданих диференціальним рівнянням такого типу y'=f(x, y) (1) В якості прикладу розглядатимемо задачу визначення граничного стану циліндричного зразка при вісесиметричному стиску плоскими плитами [2]. Для побудови апроксимацій між компонентами деформацій (2) бічної поверхні циліндричних зразків при торцевому стисненні необхідно враховувати фізичні умови процесу деформування, які можна сформулювати тільки для диференціального рівняння (3) До таких умов належать наступні : на початковому етапі торцевого стиснення, при маємо просте стиснення (4)

із збільшенням значення колової деформації, в зв язку із розвитком бочкоутворення бічної поверхні, відношення приростів осьової та колової деформацій збільшується ( за абсолютною величиною зменшується ), тобто (5) під час необмеженого збільшення деформацій справджується рівність (6) умова мінімальної кількості параметрів, що визначаються експериментально ; умова інтегруємості диференціального рівняння та мінімальної обчислювальної складності розв язку задачі визначення граничних деформацій ; Надалі перевірятимемо гіпотезу про можливість врахування усіх сформульованих вимог у структурі ДР, що має наступний вигляд (7)

Висновок : Перетворивши функцію до вигляду ДР з відокремленими змінними: було зроблено висновок про те, що дане рівняння не має очевидних розвязків, таких, які перетворюють рівняння в невизначеність, та про відсутність особливих розвязків. Запропонована схема дослідження функцій, заданих звичайними диференціальними рівняннями першого порядку, розвязаними відносно похідної, дає можливість досить повно вивчити поведінку їх інтегральних кривих, і, отже, – дослідити на якісному рівні модельований такими рівняннями процес.

Дякуємо за увагу