1 АНАЛІЗ ВАРІАЦІЙНИХ РЯДІВ ЛЕКЦІЯ 7

2 ПЛАН Предмет математичної статистики. Генеральна сукупність та вибірка. Оцінки параметрів генеральної сукупності за її вибіркою. Генеральна та вибіркова дисперсії. Стандарт. Точність та надійність оцінки. Довірчий інтервал.

3 Предмет математичної статистики. Математична статистика – розділ прикладної математики, в якому методами теорії ймовірностей досліджують результати спостережень та експериментів з метою отримання наукових та практичних висновків. Завдяки математичній статистиці розроблено ряд спеціальних методів та прийомів для розв'язання задач. До основних задач математичної статистики відносять: розробку способів збирання і групування статистичних даних; встановлення виду функції розподілу випадкової величини та оцінку параметрів розподілу; перевірку гіпотез про вид функції розподілу або про значення параметрів невідомого розподілу.

4 Генеральна сукупність та вибірка. Припустимо, що потрібно вивчити сукупність об'єктів однієї природи(цю множину називають генеральною сукупністю) відносно деякого якісного або кількісного параметра. Якщо суцільне обстеження неможливе, то з усієї сукупності вибирають для вивчення частину об'єктів. Множина випадково відібраних з генеральної сукупності об'єктів називається вибіркою.

5 Генеральна сукупність та вибірка. Припустимо, що з генеральної сукупності зроблена вибірка, причому х 1 спостерігається п 1 разів, а х 2 - п 2 разів, х k – n k разів і п 1 +п 2 +…+п k =п – об'єм вибірки. Значення х 1,х 2,…,х k, які спостерігаються, називаються варіантами, а послідовність варіант у порядку зростання – варіаційним рядом, кількість випадків в яких вони спостерігаються, п 1,п 2,…,п k - частотами, а їх відношення до об'єму вибірки – відносними частотами варіант:

6 Генеральна сукупність та вибірка. Статистичним розподілом вибірки називають сукупність варіант та відповідних їм частот. Статистичний розподіл можна задати у вигляді інтервалів та відповідних їм частот. Для графічного зображення статистичного розподілу використовують полігони та гістограми.

7 Генеральна сукупність та вибірка.

8 Оцінки параметрів генеральної сукупності за її вибіркою. Означення. Статистичною оцінкою Q* невідомого параметра Q закону розподілу називають функцію від випадкових величин х 1, х 2, …,х п, які отриманні в результаті п незалежних спостережень. Щоб статистичні оцінки давали добре наближення, вони повинні задовольняти певним вимогам, а саме: бути незміщеними, ефективними та спроможними.

9 Оцінки параметрів генеральної сукупності за її вибіркою. Статистичну оцінку Q* називають незміщеною, якщо її математичне сподівання дорівнює параметру, що оцінюється: M(Q*)=Q

10 Оцінки параметрів генеральної сукупності за її вибіркою. Незміщена оцінка невідомого параметра дає хороший результат, якщо розкид значень Q* n не дуже великий, тобто дисперсія D(Q* n ) – мала. Оцінку, яка при заданому об'ємі вибірки має найменшу із можливих дисперсію, називають ефективною.

11 Оцінки параметрів генеральної сукупності за її вибіркою. Спроможною називають статистичну оцінку, яка при великому об'ємі вибірки ( п нескінченості), прямує по ймовірності до оцінюваного параметра. Наприклад, якщо дисперсія незміщеної оцінки при п прямує до нескінченості прямує до нуля, то така оцінка є спроможною.

12 Генеральна та вибіркова дисперсії. Стандарт. Генеральною середньою х г називають середнє арифметичне значень ознаки генеральної сукупності: На практиці х г невідома її оцінкою служить вибіркова середня х в..

13 Генеральна та вибіркова дисперсії. Стандарт. Вибірковою середньою х в називають середнє арифметичне значення ознаки вибіркової сукупності: якщо частоти варіант відмінні від одиниці, то

14 Генеральна та вибіркова дисперсії. Стандарт. Щоб охарактеризувати розсіювання значень кількісної ознаки Х генеральної сукупності навколо свого середнього значення х г, вводять узагальнену характеристику – генеральну дисперсію. Генеральною дисперсією D r називають середнє арифметичне квадратів відхилень ознаки генеральної сукупності від їх середнього значення х г :

15 Генеральна та вибіркова дисперсії. Стандарт. Генеральним середнім квадратичним відхиленням (стандартом) називають корінь квадратний із генеральної дисперсії:

16 Генеральна та вибіркова дисперсії. Стандарт. Вибірковою дисперсією D в називають середнє арифметичне квадратів відхилень ознаки вибірки від їх середнього значення х в : Якщо частота варіант відмінні від одиниці, тоді

17 Генеральна та вибіркова дисперсії. Стандарт. Відповідно вибіркове середнє квадратичне відхилення (стандарт) дорівнює: Виправлена дисперсія s 2 дорівнює:

18 Генеральна та вибіркова дисперсії. Стандарт. Для оцінки середнього квадратичного відхилення використовують виправленим середнім квадратичним s:

19 Точність та надійність оцінки. Довірчий інтервал. Оцінку, яка визначається одним числом, називають точковою. Всі оцінки, якими користувалися раніше (вибіркова середня, дисперсія, стандарт), - точкові. При вибірці малого об'єму точкова оцінка може значно відрізнятися від оцінюваного параметра, що призводитиме до грубих помилок. Цим і обумовлена необхідність використання інтервальних оцінок.

20 Точність та надійність оцінки. Довірчий інтервал. Інтервальними називають оцінки, які визначаються двома числами, - кінцями інтервалу. Інтервальні оцінки дозволяють встановити точність та надійність оцінок. Припустимо, що знайдена за даними вибірки статистична характеристика Q* служить оцінкою невідомого параметра Q. Відомо, що чим менша абсолютна величина різниці Q - Q*, тим точніше Q* визначає параметр Q. Тобто

21 Точність та надійність оцінки. Довірчий інтервал. Надійністю (довірчою ймовірністю) оцінки Q за Q* називають ймовірність з якою виконується нерівність Довірчим називають інтервал який покриває невідомий параметр із заданою надійністю.

22 Точність та надійність оцінки. Довірчий інтервал.

23 Довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при відомому

24 Довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при відомому

25 Довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при невідомому В такому випадку за даними вибірки будують випадкову величину Т, яка має розподіл Стьюдента:

26 Довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при невідомому