Аксиомы и теоремы стереометрии А 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. А В α

Аксиомы и теоремы стереометрии А 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. α А β a

Аксиомы и теоремы стереометрии Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. α β γ

Аксиомы и теоремы стереометрии Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. α γ

α Секущей плоскостью многогранника называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. А В С D M N K

Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

Где располагаются стороны многоугольника, который является сечением? Где располагаются вершины многоугольника, который является сечением?

Что значит построить сечение многогранника плоскостью? Таким образом, мы в каждой грани будем строить отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани. Чтобы грамотно построить сечение, надо уметь применять различные теоремы и свойства. Какие из данных утверждений могут пригодиться при построении сечений? 1. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, содержащей эту точку. 2. Если прямая, лежащая, в одной из пересекающихся плоскостей, пересекает другую плоскость, то она пересекает линию пересечения плоскостей. 3. Если две параллельные плоскости, пересечены третьей, то линии пересечения плоскостей параллельны.

Сечения тетраэдра и параллелепипеда

А В С S Задача 1. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки D, Е, K. D E K M F Построение: 2. ЕК АС = F 3. ЕК АС = F 4. FD BС = M 5. FD BС = M 6. KM 1. DE DЕKМ – искомое сечение

А В С S Задача 2. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки К, М, Р, Р АВС К М Р Е N F Построение: 1. КМ СА = Е 2. КМ СА = Е 3. EР АВ = F 4. ЕР АВ = F ВC = N ЕР ВC = N 5. МF 6. NК КМFN – искомое сечение

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Р, К, М, М ВС. К Р М Построение: 1. КP 2. EM КP (К 1 Р 1 ) 3. EK KРNМE – искомое сечение К1К1 Р1Р1 E N 4. МN EK 5. РN

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М АВ. Н Т М Построение: 1. НМНМ 1. МТМТ 1. НTНT Выберите верный вариант:

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М АВ. Н Т М Построение: 1. НМ Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М АВ. Н Т М Построение: 1. МT Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = Е НТ DС = ЕНТ DС = Е 2. НТ BС = Е НТ BС = ЕНТ BС = Е Выберите верный вариант:

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ВС = Е Назад Комментарии: Данные прямые - скрещивающиеся! Пересекаться не могут!

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = Е Е 3. ME AA 1 = F ME AA 1 = FME AA 1 = F 3. ME BС = F ME BС = FME BС = F 3. ME CC 1 = F ME CC 1 = FME CC 1 = F Выберите верный вариант:

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 3. ME AA 1 = F 2. НТ DС = E E Назад Комментарии: Данные прямые - скрещивающиеся! Пересекаться не могут!

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 3. ME CC 1 = F 2. НТ DС = E E Назад Комментарии: Данные прямые - скрещивающиеся! Пересекаться не могут!

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = E E 3. ME ВС = F F F F 4. НFНF F 4. ТFТF 4. МТМТ Выберите верный вариант:

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = E E 3. ME ВС = F F F 4. НF Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = E E 3. ME ВС = F F 4. MT Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = E E 3. ME ВС = F F F 4. ТF F А 1 А = K F А 1 А = K 5. ТF А 1 А = KТF А 1 А = K F В 1 В = K F В 1 В = K 5. ТF В 1 В = KТF В 1 В = K Выберите верный вариант:

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = E E 3. ME ВС = F F F 4. ТF F А 1 А = K 5. ТF А 1 А = K Комментарии: Данные прямые - скрещивающиеся! Пересекаться не могут! Назад

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = E E 3. ME ВС = F F F 4. ТF F В 1 В = K 5. ТF В 1 В = K K K АА 1 = L K АА 1 = L 6. МK АА 1 = LМK АА 1 = L K АD = L K АD = L 6. НK АD = L. НK АD = L K АD = L K АD = L 6. ТK АD = LТK АD = L Выберите верный вариант:

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = E E 3. ME ВС = F F F 4. ТF F В 1 В = K 5. ТF В 1 В = K K K АD = L 6. НK АD = L Комментарии: Данные прямые - скрещивающиеся! Пересекаться не могут! Назад

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = E E 3. ME ВС = F F F 4. ТF F В 1 В = K 5. ТF В 1 В = K K K АD = L 6. TK АD = L Комментарии: Данные прямые - скрещивающиеся! Пересекаться не могут! Назад

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = E E 3. ME ВС = F F F 4. ТF F В 1 В = K 5. ТF В 1 В = K K K АА 1 = L 6. МK АА 1 = L L LT LT 7. LTLT LF LF 7. LFLF LH LH 7. LHLH Выберите верный вариант:

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = E E 3. ME ВС = F F F 4. ТF F В 1 В = K 5. ТF В 1 В = K K K АА 1 = L 6. МK АА 1 = L L L 7. LТ Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = E E 3. ME ВС = F F F 4. ТF F В 1 В = K 5. ТF В 1 В = K K K АА 1 = L 6. МK АА 1 = L L LF 7. LF Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад

АD В1В1 ВС А1А1 C1C1 D1D1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ DС = E E 3. ME ВС = F F F 4. ТF F В 1 В = K 5. ТF В 1 В = K K K АА 1 = L 6. МK АА 1 = L L L 7. LН FМL – искомое сечение НТFМL – искомое сечение

Пояснения к построению: 1. Соединяем точки K и F, принадлежащие одной плоскости А 1 В 1 С 1 D 1. А D В1В1 В С А1А1 C1C1 D1D1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки Е, F, K. К L М Построение: 1. KF 2. FE = L 3. FE АB = L EFKNM – искомое сечение F E N 4. LN FK 6. EM = M 5. LN AD = M 7. KN Пояснения к построению: 2. Соединяем точки F и E, принадлежащие одной плоскости АА 1 В 1 В. Пояснения к построению: и АВ, лежащие в одной плоскости L. 3. Прямые FE и АВ, лежащие в одной плоскости АА 1 В 1 В, пересекаются в точке L. Пояснения к построению: параллельно 4. Проводим прямую LN параллельно FK (если секущая плоскость пересекает противоположные грани, то она пересекает их по параллельным отрезкам). Пояснения к построению: пересекает ребро в точке M. 5. Прямая LN пересекает ребро AD в точке M. Пояснения к построению:. 6. Соединяем точки Е и М, принадлежащие одной плоскости АА 1 D 1 D. Пояснения к построению:. 7. Соединяем точки К и N, принадлежащие одной плоскости ВСС 1 В 1.

А D В1В1 В С А1А1 C1C1 D1D1 Задача 5. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки К, L, М. К L М Построение: 1. ML = E 2. ML D 1 А 1 = E 3. EK МLFKPG – искомое сечение F E N P G T = F 4. EK А 1 B 1 = F D = N 6. LM D 1 D = N 5. LF = T 7. ЕK D 1 C 1 = T 8. NT = G 9. NT DC = G = P NT CC 1 = P 10. MG 11. PK

А D В1В1 В С А1А1 C1C1 D1D1 Задача 6. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки F, K, L. К L F

А D В1В1 В С А1А1 C1C1 D1D1 Задача 6. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки F, K, L. Проверка: К L М FМKLN – искомое сечение F N