Особые приёмы решения логарифмических неравенств с переменной в основании Занятие 3 Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.

Решение простейших логарифмических неравенств: a > 1 x 1 > x 2 > 0 a > 1 x 2 > x 1 > 0 0 < a < 1 x 2 > x 1 > 0 0 < a < 1 x 1 > x 2 > 0

Свойство знаков двух выражений: выражения log a b и (b – 1)(a – 1) имеют один знак

Решение логарифмических неравенств с применением доказанного свойства Аналогично неравенство log h(x) f(x) < log h(x) g(x) равносильно неравенству (f – g)(h – 1) < 0 на ОДЗ Неравенство log h(x) f(x) > log h(x) g(x) равносильно неравенству (f – g)(h – 1) > 0 на ОДЗ

Алгоритм решения неравенства log h(x) f(x) > log h(x) g(x) 1) Находим область допустимых значений переменной (ОДЗ): 2) Решаем неравенство (f(х) – g(х))(h(х) – 1) > 0. (Условимся далее две последние строки системы писать одной так: 0 < h(x) 1) 3) Для найденного решения учитываем ОДЗ. 4) Записываем ответ.

Решите неравенство : 1) ОДЗ: 2) а)а)

б)б) С учётом ОДЗ – все х из Ответ: 2,24 3,6

Решите неравенство : Ответ: В решении этого неравенства используем то, что Интересно, а может знак выражения совпадает со знак выражения 1) знак log 2 х (5 х – 1) совпадает со знаком (5 х – 1 – 1)(2 х – 1) 2) знак log 3 х (7 х – 1) совпадает со знаком (7 х – 1 – 1)(3 х – 1) (2 – 1)(15 х – 11 х) ???

Докажем, что выражения a b – a с и (a – 1)(b – с) имеют один знак ( а > 0, а 1) Докажем, например, что a b – a с > 0 и (a – 1)(b – с) > 0 Доказательство.1) а > 1; а – 1 > 0. a b – a с > 0; a b > a с ; показательная функция с основанием а > 1 – возрастает, тогда b > с; b – с > 0; получили: а – 1 > 0 b – с > 0 { 2) а – положительно, но а < 1; а – 1 < 0. a b – a с > 0; a b > a с ; показательная функция с основанием 0 < а < 1 – убывает, тогда b < с; (а – 1)(b – с) > 0 b – с < 0; получили: а – 1 < 0 b – с < 0 { (а – 1)(b – с) > 0 Доказано, что Выражения a b – a с и (а – 1)(b – с) (а > 0, а 1) имеют один знак

Заключение о знаках двух выражений: выражения a b – a с и (a – 1)(b – с) ( а > 0, а 1) имеют один знак

Решите неравенство : 3) знак выражения совпадает со знак выражения 1) знак log 2 х (5 х – 1) совпадает со знаком (5 х – 1 – 1)(2 х – 1) 2) знак log 3 х (7 х – 1) совпадает со знаком (7 х – 1 – 1)(3 х – 1) (2 – 1)(15 х – 11 х) = 15 х 2 – 11 х + 2 = (5 х – 2)(3 х – 1) В исходном неравенстве заменяем каждый множитель на выражение того же знака, получаем обязательно учитывая при этом ОДЗ:

ОДЗ: Неравенство имеет решение: С учётом ОДЗ, окончательно получим