Автор презентации Прирез Н.П. г. Сураж 2010 г.

Математические понятия Понятия, связанные с числами (число, сложение, слагаемое, больше) Алгебраические понятия (равенство, уравнение, выражение) Геометрические понятия (прямая, отрезок, треугольник) Понятия, связанные с величинами и их измерением

Трапеция ? ? Через практическую работу Через классификацию Через анализ термина Через анализ определения в учебнике признаки признаки признаки признаки определение определение определение определение 1. Какое понятие? 2. Какой метод определения введения выбрать? 3. Каковы примеры на усвоение? 4. Какими свойствами обогащается понятие? 5. В каких задачах и как используется? Пример

Объем и содержание понятия Свойства Существенные Несущественные Объем понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним термином. Содержание понятия- это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.

Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). Определяющее понятие Определяемое понятие Родовое понятие Видовое отличие

Требования к определению понятий: 1. Определение должно быть соразмерным. 2. В определении не должно быть порочного круга. 3. Определение должно быть ясным.

Основные выводы. Изучив материал этой темы, мы уточнили свои представления о математических понятиях: Это понятие об идеальных объектах; Каждое математическое понятие имеет название, объем и содержание; Математические понятия могут находиться в отношении рода и вида, если их объемы находятся в отношении включения, но не совпадают; Математические понятия могут быть явными и неявными; к неявным относят контекстуальные и остенсивные определения; среди явных чаще всего используются определения через род и видовое отличие; При воспроизведении или конструировании определений через род и видовое отличие необходимо соблюдать ряд правил: определение должно быть соразмерным, в нем не должно быть порочного круга, оно должно быть ясным.

Математические предложения Высказывания и высказывательные формы. Высказыванием в математике называют предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно. Одноместной высказывательной формой, заданной на множестве Х, называется предложение с переменной, которое обращается в высказывание при подстановки в него значений переменной из множества Х. Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А ^ В, которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из этих высказываний ложно. Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А v В, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны.

Кванторы Общности (всякий, любой, все, каждый) Существования (некоторые, найдется, существует хотя бы один)

Отрицание высказываний и высказывательных форм Отрицанием высказывания А называется высказывание ¬А которое ложно, когда высказывание А истинно, и истинно, когда высказывание А - ложно. Правило построения отрицания высказывания: 1. Для того чтобы построить отрицание высказывания, нужно поставить перед высказыванием слова «неверно, что». 2. Для того чтобы построить отрицание высказывания, начинающегося с квантора общности(существования), достаточно заменить его квантором существования (общности) и построить отрицание предложения, стоящего после квантора.

Отношения следования и равносильности между предложениями Высказывательная форма В(х) следует из высказывательной формы А(х), если В(х) обращается в истинное высказывание при всех тех значениях х, при которых А(х) истинна. Предложения А(х) и В(х) равносильны, если из предложения А(х) следует предложение В(х), а из предложения В(х) следует предложение А(х).

Структура теоремы. Теорема - это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства). Теорема представляет собой высказывание вида А => В, где А и В – высказывательные формы с одной или несколькими переменными. Предложение А называют условием теоремы, а предложение В – ее заключением.

Виды теорем 1. А => В 2. В => А(обратная данной) 3.¬А =>¬ В(противоположная данной) 4.¬В =>¬ А (обратная противоположной) Закон контрапозиции – (А => В) (¬В =>¬ А)

Основные выводы При изучении материала темы мы познакомились с понятиями, с помощью которых уточнили смысл употребляемых в математике союзов «и», «или», частицы «не», слов «всякий», «существует», «следовательно» и «равносильно». Это понятия: Высказывание; Значение истинности высказывания; Высказывательная форма; Область определения высказывательной формы; Множество истинности высказывательной формы; Элементарные высказывания; Логические связки; Составные высказывания; Конъюнкция высказываний и высказывательных форм; Дизъюнкция высказываний и высказывательных форм; Квантор общности; Квантор существования; Отрицание высказываний и высказывательных форм; Отношение логического следования между предложениями; Отношение равносильности между предложениями.

Рассмотрели правила: Определения значения истинности составного высказывания; Нахождения множества истинности составных высказывательных форм; Построения отрицания предложений различной структуры. Выяснили, как использовать определения понятий при решении задач на распознавание объектов; какова логическая структура теоремы и теорем, обратной, противоположной и обратной противоположной. Установили, что различные виды теорем связаны законом контрапозиции (А=>В) (¬В ̅ =>¬А). Выяснили, в чем отличие теоремы от правила.