2014 г. Учитель Бунакова Л.А.

Формулы сокращенного умножения Зачем нужны формулы сокращенного умножения ? Как было у древних ? Когда появились буквы ? Учись применять формулы сокращенного умножения ? Источники знаний б авторе Основная цель данной работы – выработать умение применять в несложных случаях формулы сокращенного умножения для преобразования целых выражений в многочлены и для разложения многочленов на множители. Для осознанного применения формул сокращенного умножения раскрыт геометрический смысл некоторых формул, рассказано об истории их возникновения.

При умножении многочлена на многочлен каждый член одного многочлена умножают на каждый член другого. Однако в некоторых случаях умножение многочленов можно выполнить короче, воспользовавшись формулами сокращенного умножения: ( a + b )( c + d ) = ac + ad + bc + bd (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 ) a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 )

Геометрическая алгебра в древности Найденные древневавилонские клинописные тексты свидетельствуют, что некоторые формулы умножения ( квадрат суммы, квадрат разности, произведение суммы на разность ) были известны еще около 4000 лет назад. Их знали не в нашем символическом виде, а словесно, или в геометрической форме, как у древних греков. Ученые Древней Греции представляли величины отрезками прямых: Символиче ская запись Геометрический язык Фигура ab Прямоугольник, содержащийся между отрезками a и b a2a2 Квадрат на отрезке a b a a

У Диофанта (III в) неизвестное, названное «аритмос», обозначалось знаком. Особые обозначения имели степени. Значительно превзошли Диофанта в деле применения сокращенных записей древние индийцы. Европейские математики XVI – XVII в. вторую степень неизвестного называли «сила» (по-латыни (Census), а также «квадрат» (Quadratus), третью степень «куб» (Cubus). Виет применял сокращения: N (Numerus, число) для первой степени, Q – для второй, C – для третьей, QQ – для четвертой степени и т. д. Например: 1C – 8Q =16N aequatur 40 означает в современной записи : x 3 – 8x x = 40. М. Штифель писал AAA вместо A 3, Т. Гарриот писал aaaa вместо a 4. С. Стевин выражение 3x 3 + 5x 2 – 4x +6 записывал так: 3(3) + 5(2) – 4(1) + 6. Современная запись была введена Декартом и систематически применялась им в его «Геометрии». Круглые скобки появляются в XV в. в трудах Штифеля, Тартальи и др. В конце того же века появляются и фигурные скобки в книгах Виета. Однако в течение почти всего XVII в. Употреблялись не скобки, а горизонтальная черта, проводимая над выражением, подлежащим включению в скобки. Широкое применение скобки получили в первой половине XVIII в. благодаря Лейбницу и Эйлеру. Появление буквенной символики. Диофант Виет Штифель Декарт Стевин Лейбниц Эйлер Тартальи

Подробнее узнать о формулах сокращенного умножения можно в книгах и интернет - сайтах: Алгебра: Учеб. Для 7 кл. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского. – М.: Просвещение. Мордкович А. Г. Алгебра. Учеб для 7 кл. –М.: Мнемозина. Пичурин Л. В. За страницами учебника алгебры: Кн. Для учащихся 7 – 9 кл. – М.: Просвещение, Глейзер Г. И. история математики в школе:IV – VI кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981 Сайт школы N43: ЭКСПЕРИМЕНТ - Мастер-класс - Математика htm Сайт школы N43: ЭКСПЕРИМЕНТ - Мастер-класс - Математика Untitled Электронный учебник "Формулы сокращенного умножения" Untitled Электронные учебники.Математика Геометрические иллюстрации в элементарной алгебре | Хранилище методических... Геометрические иллюстрации в элементарной алгебре | Хранилище методических... Неофициальный сайт Борисовского Государственного Политехнического Колледжа... Неофициальный сайт Борисовского Государственного Политехнического Колледжа... Программа считает за тебя по формулам сокращённого умножения (19КБ)

Формулы сокращенного умножения Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Преобразование в многочлен Разложение на множители Доказательство: (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

Формулы сокращенного умножения Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 Преобразование в многочлен Разложение на множители Доказательство: (a - b) 2 = (a - b)(a - b) = = a 2 - ab - ba + b 2 = a 2 - 2ab + b 2

Формулы сокращенного умножения Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) Преобразование в многочлен Разложение на множители Доказательство: (a - b)(a + b) = = a 2 + ab - ba - b 2 = a 2 - b 2

Формулы сокращенного умножения Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат разности этих выражений a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 ) Разложение на множители Доказательство: (a + b)(a 2 – ab + b 2 ) = = a 3 – a 2 b + ab 2 + ba 2 – ab 2 + b 3 = = a 3 + b 3

Формулы сокращенного умножения Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат суммы этих выражений a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ) Разложение на множители Доказательство: (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) = = a 3 + a 2 b + ab 2 - ba 2 – ab 2 - b 3 = = a 3 + b 3

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 a – первое ( I ) выражение, b – второе (II) выражение ( I + II ) 2 = I 2 +2·I·II+II 2 Пример: ( 6q + c ) 2 = (6q) (6q) c + c 2 = 36q qc + c 2 Реши сам Представь в виде многочлена: а) (6h + 9m) 2 б) (10 + 8k) 2 в) (12c 2 + a 6 c) 2 Проверь себя

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 a – первое ( I ) выражение, b – второе (II) выражение ( I + II ) 2 = I 2 +2·I·II+II 2 Пример: ( 6q + c ) 2 = (6q) (6q) c + c 2 = 36q qc + c 2 Реши сам Представь в виде многочлена: а) (6h + 9m) 2 б) (10 + 8k) 2 в) (12c 2 + a 6 c) 2 Проверь себя = 36h hm + 81m 2 = k + 64k 2 = 144c a 6 c 3 + a 12 c 2

a 2 +2ab+b 2 = (a+b) 2 a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение I 2 +2·I·II+II 2 = ( I + II ) 2 Пример: 4x x + 9 = (2x) 2 + 2·2x· = (2x + 3) 2 Реши сам Представьте в виде квадрата двучлена: а) 16a 2 +8ab +b 2 б) 9y 2 + c 2 d 2 + 6cdy в) 0,25a 2 + 2ab 2 + 4b 4 Проверь себя

a 2 +2ab+b 2 = (a+b) 2 a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение I 2 +2·I·II+II 2 = ( I + II ) 2 Пример: 4x x + 9 = (2x) 2 + 2·2x· = (2x + 3) 2 Реши сам Представьте в виде квадрата двучлена: а) 16a 2 +8ab +b 2 б) 9y 2 + c 2 d 2 + 6cdy в) 0,25a 2 + 2ab 2 + 4b 4 Проверь себя = (4a + b) 2 = (3y + cd) 2 = (0,5a + 2b) 2

a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение ( I - II ) 2 = I 2 -2·I·II+II 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 Пример: (x 3 – 3y 4 ) 2 = (x3) 2 - 2·(x 3 )(3y 4 ) + (3y 4 ) 2 = x 6 – 6x 3 y 4 + 9y 8 Реши сам Представь в виде многочлена: а) (q 3 – 4p) 2 б) (3a – 2b) 2 в) (c 2 –0,7c 3 ) 2 Проверь себя

a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение ( I - II ) 2 = I 2 -2·I·II+II 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 Реши сам Представь в виде многочлена: а) (q 3 – 4p) 2 б) (3a – 2b) 2 в) (c 2 –0,7c 3 ) 2 Проверь себя = q 6 – 8q 3 p + 16p 2 = 9a 2 – 12ab + 4b 2 = c 4 – 1,4c 5 + 0,49c 6 Пример: (x3 – 3y4)2 = (x3)2 - 2·(x3)(3y4) + (3y4)2 = x6 – 6x3y4 + 9y8

a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение I 2 - 2· I ·II + II 2 = ( I - II ) 2 a 2 -2ab+b 2 = (a – b) 2 Пример: a 2 x 2 – 2abx + b 2 = (ax) 2 – 2(ax)b + b 2 = (ax – b) 2 Реши сам Представь в виде квадрата двучлена: а) 9a 2 – 42a +49 б) 25b 2 – 10b + 1 в) 4a 6 – 4a 3 b 2 + b 4 Проверь себя

a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение I 2 - 2· I ·II + II 2 = ( I - II ) 2 a 2 -2ab+b 2 = (a – b) 2 Пример: a 2 x 2 – 2abx + b 2 = (ax) 2 – 2(ax)b + b 2 = (ax – b) 2 Реши сам Представь в виде квадрата двучлена: а) 9a 2 – 42a +49 б) 25b 2 – 10b + 1 в) 4a 6 – 4a 3 b 2 + b 4 Проверь себя = (3a – 7) 2 = (5b – 1) 2 = (2a 3 – b 2 ) 2

a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение I 2 – II 2 = ( I + II )( I + II ) a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) Пример: 4x 4 – 25a 2 = (2x 2 ) 2 – (5a) 2 = (2x 2 – 5a)(2x 2 + 5a) Реши сам Представь в виде произведения: а) 9a 2 – 49 с 2 б) 25b 2 – 1 в) 4a 6 – b 4 Проверь себя

a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение I 2 – II 2 = ( I + II )( I + II ) a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) Пример: 4x 4 – 25a 2 = (2x 2 ) 2 – (5a) 2 = (2x 2 – 5a)(2x 2 + 5a) Реши сам Представь в виде произведения: а) 9a 2 – 49 с 2 б) 25b 2 – 1 в) 4a 6 – b 4 Проверь себя = (3a – 7c)(3a + 7c) = (5b – 1)(5b + 1) = (2a 3 – b 2 )(2a 3 + b 2 )

( I + II )( I + II ) = I 2 – II 2 a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение (a+b)(a-b) = a 2 -b 2 Пример: (6x – a)(6x + a) = (6x) 2 – a 2 = 36x 2 – a 2 Реши сам Выполните умножение: а) (6h – 9m)(6h + 9m) б) (10 – 8k)(10 + 8k) в) (12c 2 - a 6 c) (12c 2 + a 6 c) Проверь себя

( I + II )( I + II ) = I 2 – II 2 a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение (a+b)(a-b) = a 2 -b 2 Пример: (6x – a)(6x + a) = (6x) 2 – a 2 = 36x 2 – a 2 Реши сам Выполните умножение: а) (6h – 9m)(6h + 9m) б) (10 – 8k)(10 + 8k) в) (12c 2 - a 6 c) (12c 2 + a 6 c) Проверь себя = 36h m 2 = k 2 = 144c 4 - a 12 c 2

a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение I 3 + II 3 = (I + II)(I 2 - I·II + II 2 ) a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 ) Пример: 125m n 3 = (5m) 3 + (4n) 3 = (5m + 4n)( (5m) 2 – (5m)(4n) + (4n) 2 ) = = (5m + 4n)( 25m 2 – 20mn + 16n 2 ) Реши сам Представь в виде произведения: а) 27a 3 + с 3 б) 8b в) 64a 6 – b 12 Проверь себя

a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение I 3 + II 3 = (I + II)(I 2 - I·II + II 2 ) a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 ) Пример: 125m n 3 = (5m) 3 + (4n) 3 = (5m + 4n)( (5m) 2 – (5m)(4n) + (4n) 2 ) = = (5m + 4n)( 25m 2 – 20mn + 16n 2 ) Реши сам Представь в виде произведения: а) 27a 3 + с 3 б) 8b в) 64a 6 + b 12 Проверь себя = (3a + c)(9a 2 – 3ac + c 2 ) = (2b + 1)(4k 2 – 2b + 1) = (4c 2 + b 4 )(16c 4 – 4c 2 b 4 + b 8 )

I 3 - II 3 = (I - II)(I 2 + I·II + II 2 ) a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ) Пример: 8 - a 3 b 3 = (ab) 3 = (2 - ab)( ·ab + (ab) 2 ) = (2 - ab)( 4 + 2ab +a 2 b 2 ) Реши сам Представь в виде произведения: а) 1000q 3 – 216 с 2 б) b 3 – 1 в) x 6 y 3 – 27 Проверь себя

I 3 - II 3 = (I - II)(I 2 + I·II + II 2 ) a – первое ( I ) выражение, b – второе ( II) выражение a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ) Пример: 8 - a 3 b 3 = (ab) 3 = (2 - ab)( ·ab + (ab) 2 ) = (2 - ab)( 4 + 2ab +a 2 b 2 ) Реши сам Представь в виде произведения: а) 1000q 3 – 216p 3 б) b 3 – 1 в) x 6 y 3 – 27 Проверь себя = (10q – 6p)(100q qp+ 36p 2 ) = (b – 1)(b 2 + b + 1) = (x 3 y – 3)(x 4 y 2 + 3x 3 y + 9)

Геометрический смысл формулы (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Геометрический смысл формулы (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 раскрывает предложение 4 (теорема) книги второй «Начал» Евклида. Формулировка Евклида Геометрическая иллюстрация Символическая запись a, b S = (a + b) 2 S 1 = a 2, S 2 = b 2 S 3 = ab, S 4 = ba Если отрезок как-либо разбит на два отрезка, то площадь квадрата, построенного на всем отрезке равна сумме площадей квадратов, построенных на каждом из этих отрезков и удвоенной площади прямоугольника, сторонами которого служат эти отрезки. b a ab a2a2 b2b2 ab ba Повторить анимацию S = S 1 + S 3 + S 4 + S 2 или (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

Геометрический смысл формулы (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Геометрический смысл формулы (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 раскрывает предложение 4 (теорема) книги второй «Начал» Евклида. Формулировка Евклида Геометрическая иллюстрация Символическая запись a, b S = (a + b) 2 S 1 = a 2, S 2 = b 2 S 3 = ab, S 4 = ba Если отрезок как-либо разбит на два отрезка, то площадь квадрата, построенного на всем отрезке равна сумме площадей квадратов, построенных на каждом из этих отрезков и удвоенной площади прямоугольника, сторонами которого служат эти отрезки. b a ab a2a2 b2b2 ab ba Повторить анимацию S = S 1 + S 3 + S 4 + S 2 или (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

Геометрический смысл формулы (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Геометрический смысл формулы (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 раскрывает предложение 4 (теорема) книги второй «Начал» Евклида. Формулировка Евклида Геометрическая иллюстрация Символическая запись a, b S = (a + b) 2 S 1 = a 2, S 2 = b 2 S 3 = ab, S 4 = ba Если отрезок как-либо разбит на два отрезка, то площадь квадрата, построенного на всем отрезке равна сумме площадей квадратов, построенных на каждом из этих отрезков и удвоенной площади прямоугольника, сторонами которого служат эти отрезки. b a ab a2a2 b2b2 ab ba S = S 1 + S 3 + S 4 + S 2 или (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

Геометрический смысл формулы (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 Геометрический смысл формулы (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 для положительных a и b, удовлетворяющих условию a>b раскрывает следующий чертеж: Символическая запись Геометрическая иллюстрация a,b S 5 = S 1 + S 2 - S 3 S = S 5 – S 4 S = S 1 + S 2 - S 3 – S 4 или (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 ab a b a2a2 b2b2 ab b2b2 (a-b) 2 S 1 = a 2, S 2 = b 2 S 3 = ab, S 4 = ba Повторить анимацию

Геометрический смысл формулы (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 Геометрический смысл формулы (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 для положительных a и b, удовлетворяющих условию a>b раскрывает следующий чертеж: Символическая запись Геометрическая иллюстрация a,b S 5 = S 1 + S 2 - S 3 S = S 5 – S 4 S = S 1 + S 2 - S 3 – S 4 или (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 ab a b a2a2 b2b2 ab b2b2 (a-b) 2 S 1 = a 2, S 2 = b 2 S 3 = ab, S 4 = ba Повторить анимацию

Геометрический смысл формулы (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 Геометрический смысл формулы (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 для положительных a и b, удовлетворяющих условию a>b раскрывает следующий чертеж: Символическая запись Геометрическая иллюстрация a,b S 5 = S 1 + S 2 - S 3 S = S 5 – S 4 S = S 1 + S 2 - S 3 – S 4 или (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 ab a b a2a2 b2b2 ab b2b2 (a-b) 2 S 1 = a 2, S 2 = b 2 S 3 = ab, S 4 = ba

Геометрический смысл формулы a 2- b 2 =(a-b)(a+b) Геометрический смысл формулы a 2 -b 2 = (a-b)(a+b) для положительных a и b, удовлетворяющих условию a>b раскрывает следующий чертеж: Повторить анимацию Геометрическая иллюстрация a, b S 1 =a 2, S 2 =b 2 S = a 2 – b 2 S 3 = b(a-b) = S 4 S = (a-b)(a+b) a b a 2 – b 2 b(a-b) a-b a+b (a-b)(a+b)

Геометрический смысл формулы a 2- b 2 =(a-b)(a+b) Геометрический смысл формулы a 2 -b 2 = (a-b)(a+b) для положительных a и b, удовлетворяющих условию a>b раскрывает следующий чертеж: Повторить анимацию Геометрическая иллюстрация a, b S 1 =a 2, S 2 =b 2 S = a 2 – b 2 S 3 = b(a-b) = S 4 S = (a-b)(a+b) a b a 2 – b 2 b(a-b) a-b a+b (a-b)(a+b)

Геометрический смысл формулы a 2- b 2 =(a-b)(a+b) Геометрический смысл формулы a 2 -b 2 = (a-b)(a+b) для положительных a и b, удовлетворяющих условию a>b раскрывает следующий чертеж: Геометрическая иллюстрация a, b S 1 =a 2, S 2 =b 2 S = a 2 – b 2 S 3 = b(a-b) = S 4 S = (a-b)(a+b) a b a 2 – b 2 b(a-b) a-b a+b (a-b)(a+b)